Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱之為“湘一點(diǎn)”．

（1）求函數(shù)y=x-3的圖象上所有“湘一點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）若直線y=mx+m（m為常數(shù)）與直線y=x-2的交點(diǎn)為“湘一點(diǎn)”，試求出整數(shù)m的值．

（3）若直線y=-x+b、直線y=3、直線y=x+2所圍成的平面圖形中（不含邊界）共有6個“湘一點(diǎn)”，試求出常數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)y=x-3的圖象上“湘一點(diǎn)”的坐標(biāo)是（0，-3）；（2）m=0或m=2；（3）10＜b≤12或-4≤b＜-2

【解析】

（1）根據(jù)題意和湘一點(diǎn)的定義可以解答本題；

（2）將兩個一次函數(shù)聯(lián)立方程組，解方程組，再根據(jù)整點(diǎn)的條件分析討論；

（3）畫出圖形，利用特殊點(diǎn)解決問題即可；

（1）∵x是整數(shù)，x≠0時，x是一個無理數(shù)，

∴x≠0時，x-3不是整數(shù)，

∴x=0，y=-3，

即函數(shù)y=x-3的圖象上“湘一點(diǎn)”的坐標(biāo)是（0，-3）；

（2）解，得x=-1-，

∵交點(diǎn)為“湘一點(diǎn)”，且m為整數(shù)，

∴m=0或m=2，

（3）如圖，當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過A（5，7）時，b=12，

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)B（4，6）時，b=10．

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)C（-2，0）時，b=-2．

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)D（-3，-1）時，b=-4．

觀察圖象可知：直線y=-x+b、直線y=3、直線y=x+2所圍成的平面圖形中（不含邊界）共有6個“湘一點(diǎn)”，常數(shù)b的取值范圍10＜b≤12或-4≤b＜-2．