Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與y軸交于點C（0，﹣4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）．

（1）求該拋物線的解析式．
（2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．
（3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點C（0，﹣4），B（2，0）分別代入y= x2+bx+c中，

得 ，

解得

∴該拋物線的解析式為y= x2+x﹣4

（2）

解：令y=0，即 x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC= ABOC=12．

設(shè)P點坐標為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△BAC，

∴ ，即 ，

化簡得：S△PBE= （2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE= PBOC﹣S△PBE= ×（2﹣x）×4﹣ （2﹣x）2

= x2﹣ x+

=﹣ （x+1）2+3

∴當x=﹣1時，S△PCE的最大值為3

（3）

解：△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：

（I）當DM=DO時，如答圖①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M點的坐標為（﹣2，﹣2）；

（II）當MD=MO時，如答圖②所示．

過點M作MN⊥OD于點N，則點N為OD的中點，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M點的坐標為（﹣1，﹣3）；

（III）當OD=OM時，

∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點O到AC的距離為 ×4= ，即AC上的點與點O之間的最小距離為 ．

∵ ＞2，∴OD=OM的情況不存在．

綜上所述，點M的坐標為（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．