【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A,B,C三點,其中點A的坐標為(﹣3,0),點B的坐標為(4,0),連接AC,BC.動點P從點A出發(fā),在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動;同時,動點Q從點O出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動,當其中一點到達終點時,另一點隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒.連接PQ.

(1)填空:b=   ,c=   ;

(2)在點P,Q運動過程中,APQ可能是直角三角形嗎?請說明理由;

(3)在x軸下方,該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使PQM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請求出運動時間t;若不存在,請說明理由;

(4)如圖,點N的坐標為(﹣,0),線段PQ的中點為H,連接NH,當點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q′恰好落在線段BC上時,請直接寫出點Q′的坐標.

【答案】1b= c=4;(2APQ不可能是直角三角形,理由見解析;(3t=;(4Q′ , ).

【解析】試題分析:1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax+3)(x4).將a=代入可得到拋物線的解析式,從而可確定出b、c的值;

2)連結(jié)QC.先求得點C的坐標,則PC=5﹣t,依據(jù)勾股定理可求得AC=5,CQ2=t2+16,接下來,依據(jù)CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可;

3)過點PDEx軸,分別過點M、QMDDE、QEDE,垂足分別為D、EMDx軸與點F,過點PPGx軸,垂足為點G,首先證明PAG∽△ACO,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到PG=t,AG=t,然后可求得PE、DF的長,然后再證明MDPPEQ,從而得到PD=EQ=t,MD=PE=3+t,然后可求得FMOF的長,從而可得到點M的坐標,然后將點M的坐標代入拋物線的解析式求解即可;

4)連結(jié)OP,取OP的中點R,連結(jié)RH,NR,延長NR交線段BC與點Q′.首先依據(jù)三角形的中位線定理得到EH=QO=t,RHOQ,NR=AP=t,則RH=NR,接下來,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明NH是∠QNQ′的平分線,然后求得直線NRBC的解析式,最后求得直線NRBC的交點坐標即可

試題解析:1設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣4),

a=代入得:y=x2+x+4,

b=,c=4

2)在點PQ運動過程中,APQ不可能是直角三角形.

理由如下:連結(jié)QC

∵在點P、Q運動過程中,∠PAQPQA始終為銳角,

∴當APQ是直角三角形時,則∠APQ=90°

x=0代入拋物線的解析式得:y=4,

C0,4).

AP=OQ=t

PC=5﹣t,

∵在RtAOC中,依據(jù)勾股定理得:AC=5,在RtCOQ中,依據(jù)勾股定理可知:CQ2=t2+16,在RtCPQ中依據(jù)勾股定理可知:PQ2=CQ2﹣CP2,在RtAPQ中,AQ2﹣AP2=PQ2

CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2,即(3+t2﹣t2=t2+16﹣5﹣t2,解得:t=4.5

∵由題意可知:0≤t≤4

t=4.5不和題意,即APQ不可能是直角三角形.

3)如圖所示:

過點PDEx軸,分別過點M、QMDDE、QEDE,垂足分別為D、E,MDx軸與點F,過點PPGx軸,垂足為點G,則PGy軸,∠E=D=90°

PGy軸,

∴△PAG∽△ACO,

,即,

PG=t,AG=t,

PE=GQ=GO+OQ=AOAG+OQ=3t+t=3+t,DF=GP=t

∵∠MPQ=90°D=90°

∴∠DMP+DPM=EPQ+DPM=90°

∴∠DMP=EPQ

又∵∠D=E,PM=PQ,

∴△MDPPEQ

PD=EQ=t,MD=PE=3+t,

FM=MDDF=3+tt=3t,OF=FG+GO=PD+OAAG=3+tt=3+t

M3t,3+t).

∵點Mx軸下方的拋物線上,

3+t=×3t2+×3t+4,解得:t=

0≤t≤4,

t=

4)如圖所示:連結(jié)OP,取OP的中點R,連結(jié)RH,NR,延長NR交線段BC與點Q′

∵點HPQ的中點,點ROP的中點,

EH=QO=t,RHOQ

A30),N ,0),

∴點NOA的中點.

又∵ROP的中點,

NR=AP=t,

RH=NR,

∴∠RNH=RHN

RHOQ,

∴∠RHN=HNO,

∴∠RNH=HNO,即NH是∠QNQ′的平分線.

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,把點A3,0)、C0,4)代入得: ,

解得:m= n=4,

∴直線AC的表示為y=x+4

同理可得直線BC的表達式為y=﹣x+4

設(shè)直線NR的函數(shù)表達式為y=x+s,將點N的坐標代入得: ×+s=0,解得:s=2,

∴直線NR的表述表達式為y=x+2

將直線NR和直線BC的表達式聯(lián)立得: ,解得:x= ,y=,

Q′ ).

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