Question

在平面內(nèi)，A、B兩點(diǎn)到直線的距離分別為4和6，則線段的中點(diǎn)到直線的距離是（　�。�

• A、5
• B、2
• C、1或5
• D、2或5

Answer 1

考點(diǎn)：梯形中位線定理,三角形中位線定理

專題：

分析：此題分情況考慮：①A、B在直線l的同側(cè)，先利用梯形定義，證出四邊形ABFD是梯形，再利用平行線分線段成比例定理證出AC：BC=DE：EF，而C是AB中點(diǎn)，那么AC：BC=1：1，所以DE：EF=1：1，所以E是DF中點(diǎn)，從而CE是梯形ABFD的中位線，利用梯形中位線定理可求出CE的長(zhǎng)；
②A、B在直線l的異側(cè)，先做出B的對(duì)稱點(diǎn)B′，再證明CC′是△ABB的中位線，從而易求CC′，由于C′是AB的中點(diǎn)，類似①可知C′E是梯形ADFB′的中位線，從而可求C′E，進(jìn)而可求CE．

解答：解：①如右圖，A、B在直線l同側(cè)，AD⊥l，BF⊥l，且BF、AD分別是4，6，C是AB中點(diǎn)，作CE⊥l，
∵AD⊥l，BF⊥l，BF≠AD，
∴四邊形ABFD是梯形，
又∵CE⊥l，C是AB中點(diǎn)，
∴CE∥BF∥AD，
∴ED：EF=AC：BC=1：1
∴E是DF的中點(diǎn)，
∴CE是梯形ABFD的中位線，
∴CE=

1

2

（BF+AD）=

1

2

×10=5．
②如圖2，A、B在直線l的異側(cè)，AD⊥l，BF⊥l，且BF、AD分別是4，6，
C是AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BF到B′，使B′F=BF，連接AB′，過(guò)C作CE⊥l，交l于E，交AB′
于C′，
∵CE⊥l，BF⊥l，
∴CC′∥BB′，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵C是AB中點(diǎn)，
∴AC=BC，
∴AC：BC=AC′：C′B′，
∴AC′=C′B′，
∴CC′是△ABB′的中位線，
∴CC′=5，
根據(jù)①易知C′E是梯形ADFB′的中位線，那么C′E=4，
∴CE=CC′-C′E=1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形中位線定理，此題關(guān)鍵是會(huì)畫(huà)草圖，并利用了平行線分線段成比例定理，能考慮到兩種情況．