Question

已知A，B，P是⊙O上不同的三點(diǎn)，∠APB=α，點(diǎn)M是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，且使△ABM為等腰三角形．若α=45°，則所有符合條件的M共有

 

個(gè)；若滿足題意的點(diǎn)M有2個(gè)，則α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：①分類討論：當(dāng)MA=MB，則M為AB的垂直平分與圓的兩交點(diǎn)，這時(shí)兩個(gè)等腰三角形的頂角分別為45°，135°；
當(dāng)AM=AB，以A為圓心，AB為半徑交⊙O于M，此時(shí)等腰三角形只有一個(gè)，且底角為45°；
同理當(dāng)BM=BA，滿足條件的等腰三角形也只有一個(gè)．
②當(dāng)△AMB為直角三角形，且滿足題意得到點(diǎn)M只有2個(gè)，得到AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得出∠APB為直角，此外當(dāng)∠APB=α=60°，120°也符合題意，故符合條件的α的值有3個(gè)．

解答：解：①△ABM為等腰三角形．
當(dāng)MA=MB，則M為AB的垂直平分與圓的兩交點(diǎn)，這時(shí)兩個(gè)等腰三角形的頂角分別為45°，135°，如圖1中的M₁、M₂；
當(dāng)AM=AB，以A為圓心，AB為半徑的圓交⊙O于M₃，此時(shí)等腰三角形只有一個(gè)，且底角為45°；
同理當(dāng)BM=BA，滿足條件的等腰三角形也只有一個(gè)，如圖1中的M₄，
所以滿足條件的等腰三角形有4個(gè)．

②由滿足題意的M只有2個(gè)，得到以AB為直徑圓O，則∠APB=α=90°，如圖2所示．
當(dāng)∠APB=α=60°或120°也符合題意，
則符合條件的α值有3個(gè)：90°、60°或120°．
故答案分別為：4；90°、60°或120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了垂徑定理以及分類討論的思想的運(yùn)用．