Question

在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），AB=4，與y軸交于點(diǎn)C，E為拋物線的頂點(diǎn)，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點(diǎn)M，連接PE交x軸于點(diǎn)N，連接MN，若S_△EAP=3S_△EMN，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個(gè)新拋物線，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作直線l與新拋物線交于另一點(diǎn)M，與原拋物線交于另一點(diǎn)N，是否存在這樣一條直線，使得△FMN的內(nèi)心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式確定出對(duì)稱軸為直線x=1，再根據(jù)AB的長(zhǎng)度確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)tan∠ABE=2求出頂點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、E的坐標(biāo)確定出點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，然后代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度，從而得解；
（3）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3），再根據(jù)對(duì)稱性求出新拋物線的解析式，然后設(shè)直線l的解析式為y=kx+3，再與兩拋物線上解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于H，再根據(jù)點(diǎn)F的坐標(biāo)判斷出EF⊥x軸，然后根據(jù)△FMN的內(nèi)心在直線EF上，則EF是∠MFN的平分線，從而得到∠MFG=∠NFH，再根據(jù)△MGF和△NHF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出k值，從而得解．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的對(duì)稱軸為直線x=1，
又∵AB=4，
∴點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為

1

2

×4-1=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），
∵tan∠ABE=2，
∴

1

2

×4×tan∠ABE=2×2=4，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4，
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4），
∴k=4，
∵點(diǎn)A（-1，0）在二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的圖象上，
∴a（-1-1）²+4=0，
解得a=-1，
故二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-（x-1）²+4；

（2）如圖1，∵A（-1，0），E（1，4），
∴點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，且M（0，2），
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得，S_△AMN=S_△EMN，
又∵S_△EAP=3S_△EMN，
∴S_△AMN=S_△APN，
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，
∴-（x-1）²+4=-2，
解得x₁=1+

6

，x₂=1-

6

（舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+

6

，-2）；

（3）存在．
理由如下：如圖2，令x=0，-（0-1）²+4=3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
根據(jù)翻折的性質(zhì)，拋物線y=-（x-1）²+4沿y軸翻折得到的新拋物線為y=-（x+1）²+4，
∵A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
又∵E（1，4），
∴EF⊥x軸，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+3，
聯(lián)立

y=kx+3 y=-(x-1)2+4

，
解得

x1=0 y1=3

（為點(diǎn)C，舍去），

x2=2-k y2=-k2+2k+3

，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（2-k，-k²+2k+3），
聯(lián)立

y=kx+3 y=-(x+1)2+4

，
解得

x1=0 y1=3

（為點(diǎn)C，舍去），

x2=-2-k y2=-k2-2k+3

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2-k，-k²-2k+3），
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于H，
∵△FMN的內(nèi)心在直線EF上，
∴EF是∠MFN的平分線，
∴∠MFG=∠NFH，
又∵∠MGF=∠NHF=90°，
∴△MGF∽△NHF，
∴

MG

NH

=

FG

FB

，
即

-k2-2k+3

-k2+2k+3

=

1-(-2-k)

2-k-1

，
整理得，k²-2k-3=-（k²-2k+1），
即k²-2k-1=0，
解得k₁=1+

2

，k₂=1-

2

，
∵點(diǎn)M（-2-k，-k²-2k+3）在y軸的右側(cè)，點(diǎn)N（2-k，-k²+2k+3）在對(duì)稱軸直線x=1的右邊，
∴

-2-k＜0 2-k＞1

，
解得-2＜k＜1，
∴k=1-

2

，
故直線EF的解析式為y=（1-

2

）x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等底等高的三角形的面積相等，二次函數(shù)的對(duì)稱性，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）用k表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而得到兩相似三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．