Question

如圖，已知拋物線y=x²-1的頂點坐標(biāo)為M，與x軸交于A、B兩點．
（1）判斷△MAB的形狀，并說明理由；
（2）過原點的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點，連接MC、MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．
（2）分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D（m，m²-1），C（n，n²-1），通過EG∥DH，得出

EC

DF

=

OE

OF

，從而求得m、n的關(guān)系，根據(jù)m、n的關(guān)系，得出△CGM∽△MHD，利用對應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）△MAB是等腰直角三角形．理由如下：
由拋物線的解析式為：y=x²-1可知A（-1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OM=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形．

（2）MC⊥MD．理由如下：
分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，
設(shè)D（m，m²-1），C（n，n²-1），
∴OE=-n，CE=1-n²，OF=m，DF=m²-1，
∵OM=1，
∴CG=n²，DH=m²，
∵EG∥DH，
∴

EC

DF

=

OE

OF

，
即

1-n2

m2-1

=

-n

m

，
解得m=-

1

n

，
∵

CG

GM

=

n2

-n

=-n，

MH

DH

=

m

m2

=

1

m

=-n，
∴

CG

GM

=

MH

DH

，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MD．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．