Question

【題目】如圖，已知點A（0，4），B（8，0），C（8，4），連接AC，BC得到四邊形AOBC，點D在邊AC上，連接OD，將邊OA沿OD折疊，點A的對應點為點P，若點P到四邊形AOBC較長兩邊的距離之比為1：3，則點P的坐標為__________________.

Answer 1

【答案】（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

【解析】

由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=8，分兩種情況：

（1）當點P在矩形AOBC的內部時，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，當PE：PF=1：3時，求出PE=1，PF=3，由折疊的性質得：OP=OA=4，∠OPD=∠A=90°．在Rt△OPF中，由勾股定理求出OF的長，即可得出答案；

②當PE：PF=3：1時，同理得P的坐標；

（2）當點P在矩形AOBC的外部時，此時點P在第四象限，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，由PF：PE=1：3，則PF：EF=1：2，求出PF=2．在Rt△OPF中，由勾股定理求出OF的長，即可得出答案．

∵點A（0，4），B（8，0），C（8，4），∴BC=OA=4，OB=AC=8，分兩種情況：

（1）當點P在矩形AOBC的內部時，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖1所示．

①當PE：PF=1：3時．

∵PE+PF=BC=4，∴PE=1，PF=3，由折疊的性質得：OP=OA=4．在Rt△OPF中，由勾股定理得：OF===，∴P（，3）；

②當PE：PF=3：1時，同理得：P（，1）；

（2）當點P在矩形AOBC的外部時，此時點P在第四象限，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖2所示．

∵PF：PE=1：3，則PF：EF=1：2，∴PF=EF=BC=2，由折疊的性質得：OP=OA=4．在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴P（2，﹣2）；

綜上所述：點P的坐標為（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

故答案為：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．