Question

【題目】規(guī)定：有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，如圖，四邊形ABCD和AMPN就是嵌套四邊形．

（1）問題聯(lián)想

如圖①，嵌套四邊形ABCD，AMPN都是正方形，現(xiàn)把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)150°得到正方形AM'P'N'，連接BM'，DN'交于點(diǎn)O，則BM'與DN'的數(shù)量關(guān)系為_____，位置關(guān)系為_____；

（2）類比探究

如圖②，將（1）中的正方形換成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎? 若成立，請說明理由；若不成立，請給出正確的結(jié)論，并說明理由；

（3）拓展延伸

如圖3，將（1）中的嵌套四邊形ABCD和AMPN換成是長和寬之比為2:1的矩形，旋轉(zhuǎn)角換成α（90°＜α＜180°），其他條件不變，請直接寫出BM'與DN'的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）成立，不成立，與相交，且夾角為.理由見解析；（3），.

【解析】

（1）根據(jù)SAS證明△ABM’≌△AND’，進(jìn)而得到，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形內(nèi)角和可推出∠BOD=90°，即；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和菱形的性質(zhì)證明，再推出，故可求解；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)證明，得到，再推出即可求解．

（1）如圖設(shè)，交于點(diǎn)H，，

∵四邊形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)150°得到正方形AM'P'N'，

∴AB=AD,AM’=AD’,

∴△ABM’≌△AND’，

∴，∠ABM’=∠ADN’，

∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，

又∠DHA=∠BHO

∴，即

故答案為：，；

（2）成立，不成立，與相交，且夾角為.

理由：設(shè)，交于點(diǎn)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得.

∵四邊形，都是菱形，

∴，，

∴，

∴，.

又∵，

∴；

故與相交，且夾角為；

（3），，理由如下：

設(shè)，交于點(diǎn)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得.

∵四邊形ABCD和AMPN是長和寬之比為2:1的矩形

∴，，

∴

∴，

∴，.

又∵，

∴

∴，．