【題目】如圖,直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)A(a,0),交y軸正半軸于點(diǎn)B(0,b),且a、b滿足
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)C為OA的中點(diǎn),作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D,以BD為直角邊在第二象限作等腰Rt△BDE,過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F.若直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分,求k的值;
(3)如圖,P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn),以BP為邊作等腰Rt△PBM,其中PB=PM,直線MA交y軸于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段OQ的長是否發(fā)生變化?若不變,求其值;若變化,求線段OQ的取值范圍.
【答案】(1)A(4,0),B(0,4);(2)k值為或-或;(3)見解析
【解析】(1)首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a、b的方程,解方程組即可求出a,b的值,也就能寫出A,B的坐標(biāo);
(2)先判段出△DEF≌△BDO,得出EF、OF,即可求出四邊形OBEF的面積為18,再分析兩種情況可討論計(jì)算即可.
(3)過M作x軸的垂線,通過證明△PBO≌△MPN得出MN=AN,轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中即可得出結(jié)論.
解:(1)∵,
∴a=4,b=4,
∴A(4,0),B(0,4);
(2)由(1)知,B(0,4);
∴OB=4,
∵C為OA的中點(diǎn),
∴C(2,0),
∵點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D,
∴D(-2,0)
∴OD=2,
∵BD為直角邊在第二象限作等腰Rt△BDE,
①如圖,
當(dāng)BD=BE,∠DBE=90°時(shí),過點(diǎn)E作EH⊥OB于H,
∴∠BHE=90°,
∴∠BEH+∠HBE=90°,
∵∠DBE=90°,
∴∠HBE+∠OBD=90°,
∴∠BEH=∠OBD,
在△OBD和△HEB中,∠BOD=∠EHB=90°,∠0BD=∠BEH,BD=BE,
∴△OBD≌△HEB,
∴BH=OD,EH=OB,
∵D(-2,0),B(0,4),
∴OB=4,OD=2,
∴BH=2,EH=4,
∴OH=OB+BH=6,∴E(-4,6),
∴EF=OH=6,OEH=4,
∴S四邊形OBEF=(OB+EF)×OF=20,
∵直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分,
∴S四邊形OBGF=S四邊形OBEF=10,
∴S四邊形OBFE= (FG+OB×OF=×(FG+4)×4=2(FG+4)=10,
∴FG=1,∴G(-4,1)
將G(-4,1)代入直線y=kx-4k,得,1=-4k-4k,
∴k=.
②如圖1,
當(dāng)DE=BD,∠BDE=90°時(shí),
∴∠EDF+∠BDO=90°,
∴∠DEF=∠BDO,
在△DEF和△BDO中,∠DEF= ∠BOD=90°,∠DEF=∠BDO,DBD,
∴△DEF≌△BDO,
∴EF=OD=2,DF=OB=4,
∴OF=6,
∴F(-6,2)
∴S四邊形OBEF=(EF+OB)×OF=×(2-4)×6=18,
∵直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分,
所以直線y=kx-4k分成的兩部分的面積為9,
∵直線y=kx-4k恒過A(4,0),
∴I、當(dāng)直線y=kx-4k和線段EF相交,
∴S四邊形OHGF=9,
∵H(0,-4k),
∴OH=-4k,
∵G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-6,
∴G(-6,-10k),
∴FG=-10k,
∴S四邊形OHGF=(-4k=10k)×6=9.
∴k=-,
II、當(dāng)直線y=kx-4k①和線段EB相交,
∴S△MBN=9,
∵N(0,-4k)
∴BN=4(k+1),
∵B(0,4),E(-6,2),
∴直線BE的解析式為y=x+4②
聯(lián)立①②得,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,
∴S△MBN=×4(k+1)×=9,
∴k=(舍)或k=.
即:滿足條件的k值為或-或.
(3)過M作MN⊥x軸,垂足為N.
∵∠BPM=90°,∴∠BPO+MPN=90°.
∵∠AOB=∠MNP=90°,∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN.
∵BP=MP,∴△PBO≌△MPN,
∴ MN=OP,PN=AO=BO,
∴OP=OA+AP=PN+AP=AN,
∴MN=AN,∠MAN=45°.
∵∠BAO=45°,
∴△BAQ是等腰直角三角形.
∴OB=OQ=4.
∴無論P(yáng)點(diǎn)怎么動(dòng),OQ的長不變.
“點(diǎn)睛”此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了非負(fù)性,全等三角形的判定和性質(zhì),梯形的面積公式,三角形面積公式,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),解題關(guān)鍵是求出k的值.
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