【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P(x,y),若點Q的坐標為(x+ay,ax+y)(其中a為常數(shù),且a≠0),則稱Q是點P“a系聯(lián)動點”.例如:點P(1,2)“3系聯(lián)動點”Q的坐標為(7,5).

(1)點(3,0)的“2系聯(lián)動點的坐標為 ;若點P系聯(lián)動點的坐標是(,0),則點P的坐標為 ;

(2)若點P(x,y)的“a系聯(lián)動點系聯(lián)動點均關于x軸對稱,則點P分布在 ,請證明這個結論;

(3)在(2)的條件下,點P不與原點重合,點P“a系聯(lián)動點為點Q,且PQ的長度為OP長度的3倍,求a的值.

【答案】(1)(3,6) ,P(1,2);(2)點P分布在x軸上,證明見解析;(3)a=±3.

【解析】分析:(1)根據(jù)a系聯(lián)動點的定義進行解答即可;

(2)根據(jù)a系聯(lián)動點的定義得出點P(x,y)的a系聯(lián)動點“-a系聯(lián)動點的坐標,然后根據(jù)這兩點關于x軸對稱即可求出y=0,即點Px軸上;

(3)由(2)可知點Px軸上,設Px,0)(x≠0),根據(jù)a系聯(lián)動點的定義表示出Q點的坐標,然后根據(jù)PQ的長度為OP長度的3倍建立方程即可求出a的值.

詳解:(1)點(3,0)的“2系聯(lián)動點的坐標為(3+2×0,2×3+0),即;

Pxy),則點P“-2系聯(lián)動點的坐標為(x-2y,-2x+y),

∵點P系聯(lián)動點的坐標是(,0),

,

解得:,

∴點P的坐標為.

故答案為:(3,6),(1,2);

(2)點P分布在x軸上.

證明:∵點P(x,y)a系聯(lián)動點的坐標為(x+ay, ax+y)(其中a為常數(shù),且a≠0),

P(x,y)“-a系聯(lián)動點(x-ay, -ax+y).

∵點Pa系聯(lián)動點“-a系聯(lián)動點均關于x軸對稱,

a≠0,

y=0.

∴點Px軸上;

3)∵在(2)的條件下,點P不與原點重合,

P的坐標為(x, 0),x≠0.

∵點Pa系聯(lián)動點為點Q,

∴點Q的坐標為(x, ax).

PQ的長度為OP長度的3,

.

.

a=±3.

練習冊系列答案
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