【題目】已知拋物線L:y=mx2+nx-6經(jīng)過點(diǎn)(-2,2),與x軸相交于A(-3,0)和B兩點(diǎn),并與y軸相交于點(diǎn)C.拋物線L′與L關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,點(diǎn)A,B在L′上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′和B′.
(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式.
(2)在拋物線L′上是否存在點(diǎn)P,使得△PA′A的面積等于△CB′B的面積?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-2x2-8x-6;(2)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2)或(2-,2)或(2+,2)
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式.
(2)由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)求得A'(3,0),B'(1,0),則AA'=6,BB'=2,OC=6,設(shè)L'上的點(diǎn)P在L上的對應(yīng)點(diǎn)為P',P'的縱坐標(biāo)為n,由對稱性,可得 S△PA'A=S△P'A'A要使 S△P'A'A=S△CB'B,由此列出關(guān)于n的方程,通過解方程求得n的值.易得P'的坐標(biāo)為(-2,2)或(-2+,-2)或(-2-,-2),再一次利用由對稱性,可得P的坐標(biāo).
(1)解:將(-2,2),(-3,0)代入y=mx2+nx-6,得
,解得,故拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x2-8x-6.
(2)解:存在.理由如下:
在拋物線L中,令x=0,則y=-6,
∴C(0,-6).
令y=0,則-2x2-8x-6=0,解得x=-1或x=-3,
∴A(-3,0),B(-1,0).
∵拋物線L′與L關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,
∴A′(3,0),B′(1,0),
∴AA′=6,BB′=2,OC=6.
設(shè)拋物線L′上的點(diǎn)P在拋物線L上的對應(yīng)點(diǎn)為P′,點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)為s,
由對稱性,可得S△PA′A=S△P′A′A.
要使S△P′A′A=S△CB′B,則AA′·|s|=B′B·OC,
∴|s|=2,即s=±2.
令y=2,則-2x2-8x-6=2,解得x=-2;
令y=-2,則-2x2-8x-6=-2,解得x=-2+或x=-2-.
∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(-2,2)或(-2+,-2)或(-2-,-2),
由對稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2)或(2-,2)或(2+,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中, ,過點(diǎn)作的平行線,交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)求證:是的中點(diǎn).
(2)已知,是射線上的動(dòng)點(diǎn).設(shè),
①若四邊形的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
②在①中,當(dāng)為何值時(shí),的周長最小,并求出此時(shí)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,﹣1),點(diǎn)B(9,﹣10),AC∥x軸,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB,AC分別交于點(diǎn)E,F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“只要人人都獻(xiàn)出一點(diǎn)愛,世界將變成美好的人間”,在新型肺炎疫情期間,全國人民萬眾一心,眾志成城,共克時(shí)艱.某社區(qū)積極發(fā)起“援鄂捐款”活動(dòng)倡議,有2500名居民踴躍參與獻(xiàn)愛心.社區(qū)管理員隨機(jī)抽查了部分居民捐款情況,統(tǒng)計(jì)圖如圖:
(1)計(jì)算本次共抽查居民人數(shù),并將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)情況,請估計(jì)該社區(qū)捐款20元以上(含20元)的居民有多少人?
(3)該社區(qū)有1名男管理員和3名女管理員,現(xiàn)要從中隨機(jī)挑選2名管理員參與“社區(qū)防控”宣講活動(dòng),請用列表法或樹狀圖法求出恰好選到“1男1女”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如表:
下列結(jié)論:拋物線的開口向上;②拋物線的對稱軸為直線;③當(dāng)時(shí),;④拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是;⑤若是拋物線上兩點(diǎn),則,其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑(如圖11①).為了測量雕塑的高度,小明在二樓找到一點(diǎn)C,利用三角板測得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30°,底部B點(diǎn)的俯角為45°,小華在五樓找到一點(diǎn)D,利用三角板測得A點(diǎn)的俯角為60°(如圖10②).若已知CD為10米,請求出雕塑AB的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)=1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,點(diǎn)D是斜邊上一點(diǎn),且AD=4BD.
(1)求tan∠BCD的值;
(2)過點(diǎn)B的⊙O與邊AC相切,切點(diǎn)為AC的中點(diǎn)E,⊙O與直線BC的另一個(gè)交點(diǎn)為F.
(ⅰ)求⊙O的半徑;
(ⅱ) 連接AF,試探究AF與CD的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李老師為了了解班級學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體情況,對九(1)班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分成四類,A:特別好;B:好;C;一般;D:較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,李老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中女生共有 名.
(2)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)為了共同進(jìn)步,李老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請求所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.
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