Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(2，3)，拋物線G：y=x2－2x+c(c為常數(shù))的頂點坐標為M，其對稱軸與x軸相交于點N．

(1)若拋物線G經(jīng)過點A，求出其解析式，并寫出點M的坐標．

(2)若點B(x1，y1)和點C(x1+3，y2)在拋物線G上，試比較y1，y2的大小．

(3)連接OM，若45°≤∠MON≤60°，請直接寫出c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）（2）當x＞-時，y2＞y1；當x=-時，y2=y1；當x＜-時，y2＜y1；（3）2≤c≤1+或1-≤c≤0

【解析】

（1）把點A代入拋物線解析式求出c的值 ，得到拋物線的解析式進行配方即可得到M的坐標；

（2）先確定拋物線的對稱軸，再將點B與點C分三種位置關系討論求解即可；

（3）分別求出∠MON=45°時和∠MON=60°時c的值，即可求出45°≤∠MON≤60°時，c的取值范圍．

把A（2，3）代入拋物線得4-4+c=3，

解得c=3，

∴y=x2-2x+3=(x-1)2+2

∴M(1,2)；

（2）∵y=x2-2x+c，

∴對稱軸為：x=1，

∴當x≤1時，y隨x的增大而減小，當x≥1時，y隨x的增大而增大，

①當B、C都在對稱軸左側時，x1+3≤1即x1≤-2時，y1＞y2；

②當B、C都在對稱軸右側時，x1≥1時，y1＜y2；

③當B在對稱軸左側、C在對稱軸右側時，x1＜1且x1+3＞1，

∴-2＜x1＜1

點B關于x=1的對稱點為(2-x1，y1)

當2-x1＜x1+3時，x1＞-，y1＜y2，

當2-x1＞x1+3時，x1＜-，y1＞y2，

當2-x1=x1+3時，x1=-，y1=y2，

綜上所述，

當x＞-時，y2＞y1；當x=-時，y2=y1；當x＜-時，y2＜y1；

（3）∵y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,

∴頂點坐標為M（1,c-1）,

∵對稱軸與x軸交于點N，

∴N(1,0)

∴ON=1,

當∠MON=45°時，在Rt△MON中，,

∴|c-1|=1,

∴c=2或c=0;

當∠MON=60°時，在Rt△MON中，,

∴|c-1|=,

∴c=+1或c=1-,

∴當45°≤∠MON≤60°時，2≤c≤1+或1-≤c≤0.