Question

【題目】已知在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)或點(diǎn)），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接．

（1）如圖1，根據(jù)已知可以判斷點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.請(qǐng)你直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的式子表示）.

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：；

（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，記直線與的交點(diǎn)為，連接.將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=AC=AB，即可證點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上；由圓周角定理，可求∠BDC的度數(shù)；

（2）連接CE，由題意可證△ABC，△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得AE=BD；

（3）取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OF，BF，由三角形的三邊關(guān)系可得，當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，BF最長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求，OH=HC，BH=3HC，即可求tan∠FBC的值．

證明：（1）如圖1，連接DA，并延長(zhǎng)DA交BC于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，

∴AD=AC，且AB=AC，

∴AD=AB=AC，

∴點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上

∴

故答案為： ．

（2）如圖2，連接，

圖2

是等邊三角形

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，

，且

是等邊三角形，

，且

（3）如圖3，取的中點(diǎn)，連接，

圖3

在中，

當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，

如圖4，過(guò)點(diǎn)作，

圖4

，且,

點(diǎn)是中點(diǎn)，

．