Question

【題目】[問題發(fā)現(xiàn)]如圖1，半圓的直徑是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是_．

[問題解決]如圖2所示的是某街心花園的一角．在扇形中，米，在圍墻和上分別有兩個(gè)入口和且米，是的中點(diǎn)，出口在上．現(xiàn)準(zhǔn)備沿從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路，在四邊形內(nèi)種花，在剩余區(qū)域種草．

①出口設(shè)在距直線多遠(yuǎn)處可以使四邊形的面積最大？最大面積是多少？（小路寬度不計(jì)）

②已知鋪設(shè)小路所用的普通石材每米的造價(jià)是元，鋪設(shè)小路所用的景觀石材每米的造價(jià)是元問：在上是否存在點(diǎn)，使鋪設(shè)小路和的總造價(jià)最低？若存在，請(qǐng)求出最低總造價(jià)和出口距直線的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】[問題發(fā)現(xiàn)]25；[問題解決]①出口設(shè)在距直線米處可以使四邊形的面積最大，最大為平方米；②總造價(jià)的最小值為元，出口距直線的距離為米

【解析】

[問題發(fā)現(xiàn)]的底邊一定，面積最大也就是P點(diǎn)到AB的距離最大，故當(dāng)時(shí)底邊上的高最大，再計(jì)算此時(shí)面積即可．

[問題解決]①根據(jù)四邊形CODE面積=，求出最大時(shí)即可，然后作，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；

②先利用相似三角形將費(fèi)用問題轉(zhuǎn)化為CE+2DE=CE+QE，求CE+QE的最小值問題，然后利用相似三角形性質(zhì)和勾股定理求解即可．

解：[問題發(fā)現(xiàn)]：

如圖1，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至半圓的中點(diǎn)時(shí)，底邊上的高最大，即

此時(shí)的面積最大，最大值為；

[問題解決]如圖2，連接作，垂足為延長交于點(diǎn)，

則此時(shí)的面積最大．

為的中點(diǎn)，

，

在中，，

，

四邊形面積的最大值為，

作垂足為，

．

又，

，

，

出口設(shè)在距直線米處可以使四邊形的面積最大，最大為平方米；

鋪設(shè)小路和的總造價(jià)為

如圖3，連接延長到點(diǎn)使，連接

在與中，，且，

故

，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，

連接交于點(diǎn)，

此時(shí)取得最小值為．

在中，，

，

故總造價(jià)的最小值為元，

作垂足為，連接．

設(shè)則．

在中，，

解得，（舍去），

總造價(jià)的最小值為元，出口距直線的距離為米．