Question

【題目】如圖，以為頂點的拋物線交軸于點，，交軸于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上有一點，使的值最小，求點的坐標(biāo)；

（3）在軸上是否存在一點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標(biāo)為；（3）存在，當(dāng)的坐標(biāo)為或時，以，，為頂點的三角形與相似．

【解析】

（1）將點B和點C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出結(jié)論；

（2）先求出點A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出BC的解析式，作點O關(guān)于BC的對稱點O′，連接AO′交BC于點P，連接OP，O′B，根據(jù)兩點之間線段最短，此時最小，求出點O′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出AO′的解析式，聯(lián)立方程即可求出結(jié)論；

（3）求出頂點D的坐標(biāo)，利用平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式求出CD、BC、CD和AC，根據(jù)勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)情況分類討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求出結(jié)論．

解：（1）將點B和點C的坐標(biāo)代入中，得

解得：

∴拋物線的解析式為；

（2）把y=0代入中，得

解得：x1=-2，x2=6，

∴點A的坐標(biāo)為（-2,0）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋b

將點B和點C的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線BC的解析式為

作點O關(guān)于BC的對稱點O′，連接AO′交BC于點P，連接OP，O′B

根據(jù)對稱可得PO=PO′，OB=O′B

此時==

根據(jù)兩點之間線段最短，此時最小

∵OB=OC=6，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∴∠OBO′=90°

∵OB= O′B =6

∴點O′的坐標(biāo)為（6,6）

設(shè)直線AO′的解析式為y=mx＋n

將點A和點O′的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線AO′的解析式為

聯(lián)立

解得：

∴點P的坐標(biāo)為

（3）∵=

∴點D的坐標(biāo)為（2,8）

∴

∴CD2＋BC2=80=BD2

∴△BCD為直角三角形，且∠BCD=90°

點Q在點A左側(cè)時，△QAC為鈍角三角形，

∴△QAC不可能與△BCD相似

∴點Q必在點A右側(cè)，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（q，0），則AQ=q－（-2）=q＋2

∵tan∠CAO=，tan∠BDC=

∴∠CAO=∠BDC

當(dāng)△CQA∽△BCD時，

∴

即

解得：q=0

∴點Q的坐標(biāo)為（0,0）；

當(dāng)△QCA∽△BCD時，

∴

即

解得：q=18

∴點Q的坐標(biāo)為（18,0）；

綜上：點Q的坐標(biāo)為或．