【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣1,0)B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式;
(2)請?jiān)?/span>y軸上找一點(diǎn)M,使△BDM的周長最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn),AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;直線AC的解析式為y=3x+3;(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3);
(3)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或(,﹣),
【解析】(1)設(shè)交點(diǎn)式y=a(x+1)(x-3),展開得到-2a=2,然后求出a即可得到拋物線解析式;再確定C(0,3),然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為(1,4),作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′,連接DB′交y軸于M,如圖1,則B′(-3,0),利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)MB+MD的值最小,則此時(shí)△BDM的周長最小,然后求出直線DB′的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,如圖2,利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b,把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3,再解方程組得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí),利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).
(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2+2x+3=3,則C(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,
把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,
∴直線AC的解析式為y=3x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),
作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′,連接DB′交y軸于M,如圖1,則B′(﹣3,0),
∵MB=MB′,
∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此時(shí)MB+MD的值最小,
而BD的值不變,
∴此時(shí)△BDM的周長最小,
易得直線DB′的解析式為y=x+3,
當(dāng)x=0時(shí),y=x+3=3,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3);
(3)存在.
過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,如圖2,
∵直線AC的解析式為y=3x+3,
∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直線PC的解析式為y=﹣x+3,
解方程組,解得或,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,);
過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b,
把A(﹣1,0)代入得+b=0,解得b=﹣,
∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣,
解方程組,解得或,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣).
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或(,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC =8cm.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),沿路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P 和Q分別和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng),在某時(shí)刻,分別過點(diǎn)P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),△PEC和△CFQ全等?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求邊AC的長;
(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-4,1),B(-1,3),C(-2,0),將三角形ABC平移得到三角形DEF,使點(diǎn)A與點(diǎn)D(1,-2)是對應(yīng)點(diǎn).
(1)在圖中畫出三角形DEF,并寫出點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)E、F的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P在x軸上,且知三角形PCD的面積等于三角形ABC面積的,請寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行,中國同30多個(gè)國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路”沿線國家和地區(qū).已知甲種商品的銷售單價(jià)為900元,乙種商品的銷售單價(jià)為600元.
(1)已知乙種商品的銷售量不能低于甲種商品銷售量的三分之一,則最多能銷售甲種商品多少萬件?
(2)在(1)的條件下,要使甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5700萬元,請求甲種商品銷售量的范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),2秒后,兩點(diǎn)相距16個(gè)單位長度,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B的速度比為1:3(速度單位:1個(gè)單位長度秒).
(1)求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度;
(2)在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)的位置;
(3)若表示數(shù)0的點(diǎn)記為O,A、B兩點(diǎn)分別從(2)中標(biāo)出的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),再經(jīng)過多長時(shí)間,滿足OB=2OA?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E在AC上,∠CDE=25°,現(xiàn)將△CDE沿直線DE翻折得到△FDE,連接BF,則∠BFE的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A,B),連接CE,過點(diǎn)B作CE的垂線交直線CE于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)G.
(1)求證:AE=CG;
(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上時(shí)(如圖②),試猜想AE,CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,請寫出你的結(jié)論;
(3)過點(diǎn)A作AH⊥CE,垂足為點(diǎn)H,并交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖③),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 ,△ABC 的外角平分線 CP 和內(nèi)角平分線 BP 相交于點(diǎn) P,若∠BPC=25°,則∠CAP=__________.
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