【題目】如圖,正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在BC,CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點G,下列結(jié)論:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤SCEF=2SABE , 其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

【答案】B
【解析】解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等邊三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,
∴CE=CF,故①正確;
∵∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°,
∴∠AEB=75°,故②正確;
設EC=x,由勾股定理,得
EF= x,CG= x,
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x,
∴AG≠2GC,③錯誤;
∵CG= x,AG= x,
∴AC= x
∴AB=AC = x,
∴BE= x﹣x= x,
∴BE+DF=( ﹣1)x,
∴BE+DF≠EF,故④錯誤;
∵SCEF= x2 ,
SABE= ×BE×AB= × x= x2 ,
∴2SABE═SCEF , 故⑤正確.
綜上所述,正確的有3個,
故選:B.
通過條件可以得出△ABE≌△ADF,從而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,得到CE=CF;由正方形的性質(zhì)就可以得出∠AEB=75°;設EC=x,由勾股定理得到EF,表示出BE,利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和2SABE , 再通過比較大小就可以得出結(jié)論.

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