Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且∠A=∠EBC．

（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G，若BGBA=48，F(xiàn)G= ，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，

∵BD是直徑，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切線．

（2）解：∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴ = ，即BC2=BGBA=48，

∴BC=4 ，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴BC2=BFBD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在Rt△BCF中，CF= =4 ，

∴CG=CF+FG=5 ，

在Rt△BFG中，BG= =3 ，

∵BGBA=48，

∴ 即AG=5 ，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，

∴CH=CB=4 ，

∵△ABC∽△CBG，

∴ = ，

∴AC= = ，

∴AH=AC﹣CH= ．

【解析】（1）連接CD，利用直徑上的圓周角為直角可得∠D+∠CBD=90°，再利用圓周角定理可得∠CBD+∠EBC=90°，進(jìn)而得證；
（2）先證△ABC∽△CBG，可得BC2=BGBA，從而求得BC的長(zhǎng)，再由△BFC∽△BCD可得BF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CH、BG、CG的長(zhǎng)，再用△ABC∽△CBG利用對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比例求得AC的長(zhǎng)，又AH=AC-CH可求得結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用三角形的外接圓與外心和切線的判定定理，掌握過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．