Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=10，cos∠OCA=

3

5

，將矩形OABC對折，使點A落在點C處，折痕在直線MN上．
（1）求點A的坐標；
（2）求直線MN的解析式；
（3）若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與線段AC有公共點，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）在直角三角形ACO中，由AC與cos∠OCA，利用銳角三角函數(shù)定義求出OC的長，再利用勾股定理求出OA的長，即可確定出A的坐標；
（2）MN是矩形OABC對折后折痕所在的直線，即MN為AC的中垂線，設(shè)MN與AC的交點為P，則有PA=PC=5，利用銳角三角函數(shù)定義求出AN的長，進而求出ON的長，確定出N點坐標，同理求出CM的長，確定出M點坐標，設(shè)直線MN解析式為y=kx+b，將M與N坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線MN解析式；
（3）設(shè)直線AC解析式為y=ax+m，將A與C坐標代入求出a與m的值，確定出直線AC解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，消元y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)反比例函數(shù)與線段AC有公共點，得到根的判別式大于等于0，即可確定出k的范圍．

解答：解：（1）在Rt△ACO中，∵AC=10，cos∠OCA=

3

5

，
∴cos∠OCA=

OC

AC

=

3

5

，即

OC

10

=

3

5

，
∴OC=6，
∴OA=

AC2-OC2

=

102-62

=8，
∴點A的坐標為 （8，0）；

（2）MN是矩形OABC對折后折痕所在的直線，即MN為AC的中垂線，
設(shè)MN與AC的交點為P，則有PA=PC=

1

2

AC=5，
∴cos∠CAO=

OA

AC

=

AP

AN

，即

8

10

=

5

AN

，
∴AN=

25

4

，ON=OA-AN=8-

25

4

=

7

4

．
∴N（

7

4

，0），
同理CM=AN=0A-ON=8-

7

4

=

25

4

，
∴M（

25

4

，6），
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
∴

6= 25 4 k+b 0= 7 4 k+b.

，
解得：

k= 4 3 b=- 7 3 .

，
則直線MN解析式為y=

4

3

x-

7

3

；

（3）設(shè)直線AC解析式為y=ax+m，
將A（8，0），C（0，6）代入得：

8a+m=0 m=6

，
解得：a=-

3

4

，m=6，
∴線段AC解析式為y=-

3

4

x+6（0≤x≤8），
聯(lián)立得：

y= k x y=- 3 4 x+6

，
消去y得：-

3

4

x+6=

k

x

，
整理得：3x²-24x+4k=0，
∵反比例函數(shù)與線段AC有公共點，
∴△=24²-4×3×4k≥0，
解得：k≤12，
∵反比例函數(shù)在x＞0時，圖象位于第一象限，
∴k＞0，
則k的范圍為0＜k≤12．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，坐標與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．