Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的頂點(diǎn)O在AB上，OM、ON分別交CA、CB于點(diǎn)P、Q，∠MON繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)

OA

OB

=

1

2

時(shí)，

OP

OQ

的值為

 

；當(dāng)

OA

OB

=

1

n

時(shí)，為

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根據(jù)相似的性質(zhì)得

OD

BC

=

AO

AB

，

OE

AC

=

BO

BA

，由于

OA

OB

=

1

n

，則

OD

BC

=

1

n+1

，

OE

AC

=

n

n+1

，所以

OD

OE

=

BC

n•AC

，在Rt△ABC中，利用正切的定義得tanB=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，即

BC

AC

=

3

，所以

OD

OE

=

3

n

；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，則Rt△DOP∽R(shí)t△EOQ，則

OP

OQ

=

OD

OE

=

3

n

，且當(dāng)n=2時(shí)，即

OA

OB

=

1

2

時(shí)，

OP

OQ

=

3

2

．

解答：解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如圖，
∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

，

OE

AC

=

BO

BA

，
∵

OA

OB

=

1

n

，
∴

OA

AB

=

1

n+1

，

OB

AB

=

n

n+1

，
∴

OD

BC

=

1

n+1

，

OE

AC

=

n

n+1

，
∴

OD

OE

=

BC

n•AC

，
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，即

BC

AC

=

3

，
∴

OD

OE

=

3

n

，
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽R(shí)t△EOQ，
∴

OP

OQ

=

OD

OE

=

3

n

，
當(dāng)n=2時(shí)，即

OA

OB

=

1

2

時(shí)，

OP

OQ

=

3

2

．
故答案為

3

2

，

3

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．