Question

如圖，拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)A，P（a，-a²+

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2

a+m）（a為任意實(shí)數(shù)）在拋物線上，直線y=kx+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，平行于y軸的直線x=2交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）若m=2，
①求直線AB的解析式；
②直線x=t（0≤t≤4）與直線AB相交于點(diǎn)F，與拋物線相交于點(diǎn)G．若FG：DE=3：4，求t的值；
（2）當(dāng)EO平分∠AED時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得出拋物線解析式，然后求出A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）①根據(jù)點(diǎn)E（2，5），D（2，1），G（t，-t²+

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t+2），F(xiàn)（t，-t+2），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；
②設(shè)點(diǎn)A（0，2+m），則點(diǎn)E（2，3+m），過點(diǎn)O作OM⊥AE交直線AE于點(diǎn)M，根據(jù)EO平分∠AED及平行線的性質(zhì)可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，繼而可得出m的值．

解答：解：（1）①∵P（a，-a²+

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a+m）（a為任意實(shí)數(shù)）在拋物線上，
∴y=-x²+

7

2

x+m，
當(dāng)m=2時(shí)，則y=-x²+

7

2

x+2，
∴A坐標(biāo)為（0，2），B坐標(biāo)為（4，0）C坐標(biāo)為（-

1

2

，0），
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b，得：

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2；
②∵F為（t，2-

1

2

t）G為（t，-t²+

7

2

t+2），E為（2，5），D為（2，1）
∴FG=t²+

7

2

t+2）-（2-

1

2

）=-t²+4t，DE=4，
∵FG：DE=3：4，
∴-t²+4t=3，
解得t₁=1，t₂=3；

（2）過點(diǎn)O作OM⊥AE交直線AE于點(diǎn)M，由題意得OM=X_E=2，E的坐標(biāo)為（2，m+3），
∵直線AE的解析式為y=

3

2

x+m，
∴OA=m，OM=

2 13

13

m=2，得m=

13

，
∴m的值為

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題的突破口在于根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)得出拋物線解析式，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．