Question

如圖，在銳角△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的三等分點，P、Q、R分別是△ADF、△BDE、△CEF的三條中線的交點．
（1）求△DEF與△ABC的面積比；
（2）求△PDF與△ADF的面積比；
（3）求多邊形PDQERF與△ABC的面積比．

Answer 1

解：（1）如圖，過點D作DG⊥BC于G，過點A作AH⊥BC于H，則DG∥AH，
所以△BDG∽△BAH，又，BE=BC，
所以DG=AH，S_△BDE=S_△ABC，
同理S_△ADF=S_△CEF=S_△ABC
所以S_△DEF=S_△ABC-S_△ADF-S_△CEF=S_△ABC．


（2）分別延長DP，F(xiàn)P交AF，AD于M，N，因為點P是△ADF的三條中線的交點，
所以M，N分別是AF，AD的中點，且DP=DM，
過點P，M分別作DF的垂線，垂足分別為K，S，則△DKP∽△DSM，相似比為2：3，所以KP=SM，
S_△PDF=S_△MDF，
又S_△MDF=S_△ADF，得
S_△PDF=S_△ADF．
（3）由（2）知，
S_△QDE=S_△BDE，S_△REF=S_△CEF，
所以S_△PDF=S_△QDE=S_△REF=S_△ABC．
所以S_PDQERF=S_△DEF+S_△PDF+S_△QDE+S_△REF=S_△ABC．
分析：（1）分別過A，D兩點作BC的垂線，得到△BDE和△ABC的面積關系，用同樣的方法可以得到△ADF，△CEF與△ABC的面積的關系，然后求出△DEF與△ABC面積的比．（2）點P是△ADF的重心，延長DP，F(xiàn)P，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)計算可以求出△PDF和△ADF的面積的比．（3）根據(jù)（1）（2）兩題的結(jié)論，得到△DQE和△EFR與△BDE和△CEF的面積關系，求出多邊形與三角形的面積的比．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）過D，A兩點作BC的垂線，得到兩相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，求出兩三角形的面積的比．（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可以求出兩三角形的面積的比．（3）利用（1）（2）的結(jié)論可以求出多邊形與三角形面積的比．