Question

【題目】（1）(3分)如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD∶GC∶EB的結果（不必寫計算過程）；

（2）(3分)將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉一定角度，如圖（2），求HD∶GC∶EB；

（3）(2分)把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此時HD∶GC∶EB的值與（2）小題的結果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結果（不必寫計算過程）．

Answer 1

【答案】（1）HD:GC:EB＝１: :1（2）HD:GC:EB＝１: :1（3）有變化，HD:GC:EB＝

【解析】解：（1）HD:GC:EB＝１: :1。

（2）連接AG、AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，

∴AD:AC＝AH:AG＝１: ，∠DAC=∠HAG=45°。

∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。

∴HD:GC＝AD:AC＝１: 。

∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。

又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）。∴HD=EB。

∴HD:GC:EB＝１: :1。

（3）有變化，HD:GC:EB＝。

（1）連接AG，

∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，

∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD。

∴A，G，C共線，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。

∵

∴GC=AC－AG=AB－AE= （AB－AE）= BE。

∴HD：GC：EB=1：：1。

（2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對應邊成比例與正方形的性質，即可求得HD：GC：EB的值。

（3）連接AG、AC，

∵矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，

DA：AB=HA：AE=m：n，

∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。

∴AD：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG。

∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。

∴HD：GC=AD：AC=。

∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。

∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n。

∴HD：GC：EB=。