【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+4m﹣8,

1)當(dāng)x≤2時(shí),函數(shù)值yx的增大而減小,求m的取值范圍.

2)以拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMNMN兩點(diǎn)在拋物線上),請(qǐng)問(wèn):△AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)若拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),求整數(shù)m的最小值.

【答案】1m≥2;(2AMN是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,SAMN=3,與m無(wú)關(guān);3m=2

【解析】試題分析:(1)求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=m,由于拋物線的開口向上,在對(duì)稱軸的左邊yx的增大而減小,可以求出m的取值范圍.

2)在拋物線內(nèi)作出正三角形,求出正三角形的邊長(zhǎng),然后計(jì)算三角形的面積,得到△AMN的面積是m無(wú)關(guān)的定值.

3)當(dāng)y=0時(shí),求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),然后確定整數(shù)m的值.

試題解析:(1)二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8的對(duì)稱軸是:x=m

當(dāng)x≤2時(shí),函數(shù)值yx的增大而減小,

x≤2應(yīng)在對(duì)稱軸的左邊,

∴m≥2

2)如圖:頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,-m2+4m-8

△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形,

MN交對(duì)稱軸于點(diǎn)B,tan∠AMB=tan60°=,

AB=BM=BN,

設(shè)BM=BN=a,則AB=a

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m+a, a-m2+4m-8),

點(diǎn)M在拋物線上,

a-m2+4m-8=m+a2-2mm+a+4m-8

整理得:a2-a=0

得:a=a=0舍去)

所以AMN是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

SAMN=×2×3=3,與m無(wú)關(guān);

3)當(dāng)y=0時(shí),x2-2mx+4m-8=0,

解得:

拋物線y=x2-2mx+4m-8x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),

m-22+4應(yīng)是完全平方數(shù),

∴m的最小值為:m=2

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.

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