Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長(zhǎng)線(xiàn)一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．
（1）求證：△ACD∽△ABC；
（2）求證：∠PCA=∠ABC；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AE∥PC交⊙O于點(diǎn)F，連接BE，若sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明△ACD∽△ABC，只要證明①∠ADC=∠ACB，②∠CAD=∠BAC即可．
（2）利用等角的余角相等證明，即證明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解決問(wèn)題．
（3）先證明FA=FC=5，在RT△ADF中，根據(jù)sin∠FAD=$\frac{3}{5}$求出DF、AD，在RT△COD中利用勾股定理求出半徑，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=$\frac{3}{5}$求出BE即可．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠ADC=90°=∠ACB，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC．
（2）證明：連接OC．
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC．
（3）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AG}$，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴FA=FC，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
∴FD=3，AD=4，CD=8，
在RT△COD中，設(shè)CO=r，則有r²=（r-4）²+8²
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠EAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{20}$=$\frac{3}{5}$，
∴EB=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，注意連接OC是圓中常用輔助線(xiàn)，熟練掌握垂徑定理、切線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．