Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4），矩形ABCD的頂點A與點O重合，點B、D的坐標分別為（0，3）、（-2，0），將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸的正方向平移，同時點P也以每秒a個單位長度從A出發(fā)，沿A→B→C→D運動，到點D停止，設(shè)矩形移動的時間為t（s）．
（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當a=3時，在0＜t≤$\frac{5}{3}$的范圍內(nèi)，求△APM的面積S（平方單位）與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當a=2時，直接寫出點P在拋物線與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標設(shè)拋物線關(guān)系式為：y=a（x-2）²+4，把（0，0）代入即可；
（2）分兩種情況討論，①當點P在線段OB上時，0≤t≤1，△APM的面積S=-$\frac{3}{2}$t²+3t；
②當點P在線段BC上時，1＜t≤$\frac{5}{3}$，S=S_梯形PGAM-S_△APG-S_△MAH=$\frac{9}{2}$t-2；
（3）分類討論：點P分別在AB、BC、CD、AD上，因為速度為2個單位長度，利用長度計算出在各條邊上的時間，寫出此時點P的坐標，與拋物線上與點P橫坐標相等的縱坐標對比，確定此時點P是在拋物線內(nèi)還是外，還是上，最后寫出取值范圍．

解答 解：（1）頂點M的坐標為（2，4），
故設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x-2）²+4，
∵拋物線過O（0，0），
得0=4a+4，
a=-1，
∴該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式：y=-（x-2）²+4=-x²+4x；
（2）當y=0時，-x²+4x=0，
x²-4x=0，
x₁=0，x₂=4，
∴OE=4，
①當點P在線段OB上時，0≤t≤1，如圖1，
由題意得：OA=t，OP=3t，
S=$\frac{1}{2}$×3t×（2-t）=-$\frac{3}{2}$t²+3t；
②當點P在線段BC上時，1＜t≤$\frac{5}{3}$，如圖2，
過P作PG⊥OD于G，過M作MH⊥OD于H，
則AG=PB=3t-3，OA=t，OG=t-（3t-3）=-2t+3，AH=2-t，MH=4，PG=3，
∴S=S_梯形PGHM-S_△APG-S_△MAH，
=$\frac{1}{2}$（3+4）（2+2t-3）-$\frac{1}{2}$×3×（3t-3）-$\frac{1}{2}$×4×（2-t），
=$\frac{9}{2}$t-2；
綜上所述：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{S=-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t（0≤t≤1）}\\{S=\frac{9}{2}t-2（1＜t≤\frac{5}{3}）}\end{array}\right.$；

（3）a=2時，點P以每秒2個單位長度從A出發(fā)，到點D停止，0≤t≤5，
i）AB=3，t=$\frac{3}{2}$=1.5，
當0≤t≤1.5時，點P在AB上，如圖1，則P（t，2t），
當x=t時，y=-t²+4t，
-t²+4t-2t=-t²+2t=-t（t-2）＞0，
這時，點P在拋物線內(nèi)；
ii）當1.5＜t≤2.5時，P在BC上，如圖2，P[t-（2t-3），3]，即P（-t+3，3），
當x=-t+3時，y=-（t-1）²+4，
-（t-1）²+4-3=-t²+2t=-t（t-2），
當1.5＜t＜2時，點p在拋物線內(nèi)，
當t=2時，點P在拋物線上，
當2＜t≤2.5時，點P在拋物線外，
iii）當2.5＜t＜3時，點P在CD上，則P（t-2，-2t+8），
當x=t-2時，-（t-2-2）²+4=-2t+8，
解得：t₁=5+$\sqrt{5}$（舍去），t₂=5-$\sqrt{5}$，
當y=3時，-x²+4x=3，
x₁=1，x₂=3，
綜上所述：當0＜t＜2或5-$\sqrt{5}$＜t≤5時，點P在拋物線與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用頂點式求二次函數(shù)的關(guān)系式，利用面積建立函數(shù)模型，采用分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是觀察圖形的形狀，找出最恰當?shù)那蠼夥绞�，利用熟知圖形面積的和或差來求，同時還解決動點問題中的未知數(shù)的取值問題，綜合性較強．