Question

【題目】如圖1，拋物線：與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線的頂點(diǎn)為G．

（1）求出拋物線的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）如圖2，將拋物線向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為、，頂點(diǎn)為，當(dāng)△是等邊三角形時，求k的值：

（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動點(diǎn)（介于O與B之間），過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線、于P、Q兩點(diǎn)，是否存在M點(diǎn)，使得以A、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與以P、M、B為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）, G的坐標(biāo)為（1，4）（2）k=1；（3）M點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；
（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=-x2+2x+3-k，即y=-（x-1）2+4-k，′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)B′D=m，由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；
（3）設(shè)M（a，0），則P（a，-a2+2a+3）、Q（a，-a2+2a+2），分別用含a的式子表示AM,BM,PM,QM.再由題意分兩種情況相似：①△AMQ∽△BMP,②△AMQ∽△PMB.根據(jù)對應(yīng)邊成比例建立關(guān)于a的方程，解之求得a的值從而進(jìn)一步求解．

解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

將A、C坐標(biāo)代入，得：

解得：，

∴拋物線C1的解析式為，

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）．

（2）設(shè)拋物線C2的解析式為，即，

過點(diǎn)G′作軸于點(diǎn)D，設(shè)，

∵△為等邊三角形，

∴，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，m），

將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入，得：

，

解得：(舍去)

∴k=1；

（3）設(shè)M（，0），則，

∵M介于O與B之間，∴

∵A(-1,0),B(3,0)

分兩種情況：

當(dāng)△AMQ∽△BMP時，有，可得

（舍去）

∴

②當(dāng)△AMQ∽△PMB時，有，可得

整理得

解得：

∴

綜上所述M點(diǎn)的坐標(biāo)為