精英家教網(wǎng)已知P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)（如圖）．
（1）求證：
12
（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；
（2）若△ABC為正三角形，且邊長(zhǎng)為1，求證：PA+PB+PC＜2．
分析：（1）由三角形兩邊之和大于第三邊得PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b，則有PA+PB+PC＞
1
2
（a+b+c）；由定理4可知PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，PC+PA＜c+a，則有PA+PB+PC＜a+b+c．從而得以證明．
（2）過(guò)P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，可得PA＜max{AD，AE}=AD，PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明PA+PB+PC＜2．
解答：證明：（1）由三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b．把這三個(gè)不等式相加，再兩邊除以2，便得
PA+PB+PC＞
1
2
（a+b+c）．
又由定理4可知
PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，
PC+PA＜c+a．
把它們相加，再除以2，便得
PA+PB+PC＜a+b+c．
所以
1
2
（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；

（2）過(guò)P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，如圖所示．于是
PA＜max{AD，AE}=AD，
PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，
所以PA+PB+PC＜AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三邊關(guān)系和正三角形的性質(zhì)，同時(shí)考查了不等式的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

27、已知△ABC，
（1）如圖，若D點(diǎn)是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)、求證：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．

（2）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出所滿足的關(guān)系式．（不需要證明）

（3）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC，
（1）如圖1，若D點(diǎn)是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，BD、CD分別為∠ABC、∠ACB的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為
∠D=90°+
1
2
∠A
∠D=90°+
1
2
∠A
．
（2）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖2所示．BD、CD分別為∠FBC、∠ECB的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為
∠D=90°-
1
2
∠A
∠D=90°-
1
2
∠A
．
（3）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖3所示．BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為
∠D=
1
2
∠A
∠D=
1
2
∠A
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：∠BPC＞∠A．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(25分)已知G是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，BG、CG分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.
求使不等式S△BGF·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年奧林匹克初中數(shù)學(xué)訓(xùn)練題 題型：解答題

(25分)已知G是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，BG、CG分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.
求使不等式S△BGF·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.

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