Question

已知△ABC，
（1）如圖1，若D點是△ABC內(nèi)任一點，BD、CD分別為∠ABC、∠ACB的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為

∠D=90°+

1

2

∠A

．
（2）若D點是△ABC外一點，位置如圖2所示．BD、CD分別為∠FBC、∠ECB的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為

∠D=90°-

1

2

∠A

．
（3）若D點是△ABC外一點，位置如圖3所示．BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為

∠D=

1

2

∠A

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）先根據(jù)BD、CD分別是∠CBE、∠BCF的平分線可知∠DBC=

1

2

∠EBC，∠BCD=

1

2

∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的兩個外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠DBC+∠BCD=

1

2

（∠EBC+∠BCD）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，根據(jù)在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線可知∠1=∠DBC=

1

2

∠ABC，∠2=∠DCE，再由∠DCE是△BCD的外角得出∠DCE=∠D+∠DBE，再根據(jù)∠ACE是△ABC的外角即可得出∠ACE=∠A+∠ABC由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BDC=90°+

1

2

∠A，
即∠D=90°+

1

2

∠A．

（2）：∵BD、CD分別是∠CBE、∠BCF的平分線
∴∠DBC=

1

2

∠EBC，∠BCD=

1

2

∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的兩個外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=

1

2

（∠EBC+∠BCD）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A，即∠D=90°-

1

2

∠A．

（3）∵BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線，
∴∠1=∠DBC=

1

2

∠ABC，∠2=∠DCE=

1

2

（∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=

1

2

∠ACE-

1

2

∠ABC
=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC
=

1

2

∠A．
故答案為：∠D=90°+

1

2

∠A；∠D=90°-

1

2

∠A；∠D=

1

2

∠A．

點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．