【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC與⊙O相切于點B,CD與⊙O相切于點D,連結AD.
(1)求證:AD∥OC.
(2)小聰與小明在做這個題目的時候,對∠CDA與∠AOC之間的關系進行了探究:
小聰說,∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值;
小明說,∠CDA+∠AOC的值隨∠A度數(shù)的變化而變化.
若∠CDA+∠AOC的值為y,∠A度數(shù)為x.你認為他們之中誰說的是正確的?若你認為小聰說的正確,請你求出這個固定值:若你認為小明說的正確,請你求出y與x之間的關系.
【答案】(1)證明見解析;(2)小聰說的對,∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值,270°.
【解析】
(1)連結OD,根據(jù)切線性質(zhì)得∠ODC=∠OBC=90°,由全等三角形判定HL得Rt△ODC≌Rt△OBC,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得∠DOC=∠BOC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角得∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC,從而可得∠ODA=∠DOC,由平行線判定即可得證.
(2)小聰說的對,∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值,理由如下:根據(jù)題意可得90°+x+∠AOC=y,即x+∠AOC=y-90°,由平行線性質(zhì)得∠OAD+∠AOC=180°,即x+∠AOC=180°,兩式聯(lián)立可得90°+180°=y=270°.
解:(1)連結OD,如圖:
,
∵ BC與⊙O相切于點B,CD與⊙O相切于點D,
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∵OD=OB,OC=OC,
∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL),
∴∠DOC=∠BOC,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°,
∴∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC,
∴∠ODA=∠DOC,
∴AD∥CO.
(2)小聰說的對,∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值,理由如下:
∵∠CDA+∠AOC=y,∠A=x,
∴∠ODA=∠OAD=x,∠ODC+∠ODA+∠AOC=y,
∵∠ODC=90°,
∴90°+x+∠AOC=y,
即x+∠AOC=y-90°,
∵AD∥CO,
∴∠OAD+∠AOC=180°,
即x+∠AOC=180°,
∴90°+180°=y,
即y=270°,
∴小聰說的對,∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一副三角板如圖所示,疊放在一起.若固定△AOB,將△ACD繞著公共點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度(0<α<180).請你探索,當△ACD的一邊與△AOB的一邊平行時,相應的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知ABCD中,AB=3,BC=5,∠BAC=90°,E、F分別是AB,BC上的動點,EF⊥BC,△BEF與△PEF關于直線EF對稱,若△APD是直角三角形,則BF的長為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年3月30日,四川省涼山州木里縣境內(nèi)發(fā)生森林火災,30名左右的撲火英雄犧牲,讓人感到痛心,也再次給我們的防火安全意識敲響警鐘.為了加強學生的防火安全意識,某校舉行了一次“防火安全知識競賽”(滿分100分),賽后從中抽取了部分學生的成績進行整理,并制作了如下不完整的統(tǒng)計圖表:
組別 | 成績x/分 | 組中值 |
A | 50≤x<60 | 55 |
B | 60≤x<70 | 65 |
C | 70≤x<80 | 75 |
D | 80≤x<90 | 85 |
E | 90≤x<100 | 95 |
請根據(jù)圖表提供的信息,解答下列各題:
(1)補全頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)分數(shù)段80≤x<90對應扇形的圓心角的度數(shù)是 °,所抽取的學生競賽成績的中位數(shù)落在 區(qū)間內(nèi);
(3)若將每組的組中值(各組兩個端點的數(shù)的平均數(shù))代表各組每位學生的競賽成績,請你估計該校參賽學生的平均成績.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為迎接“五一”勞動節(jié),某中學組織了甲、乙兩個義務勞動小組,甲組x人,乙組y人,到“中華路”和“青年路”打掃衛(wèi)生,根據(jù)打掃衛(wèi)生的進度,學校隨時調(diào)整兩組人數(shù),如果從甲組調(diào)50人去乙組,則乙組人數(shù)為甲組人數(shù)的2倍;如果從乙組調(diào)m人去甲組,則甲組人數(shù)為乙組人數(shù)的3倍.
(1)求出x與m之間的函數(shù)表達式.
(2)問:當m為何值時,甲組人數(shù)最少,最少是多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O外,∠ABC的平分線與⊙O交于點D,∠C=90°.
(1)CD與⊙O有怎樣的位置關系?請說明理由;
(2)若∠CDB=60°,AB=6,求的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,C是以AB為直徑的半圓O上一點,連結AC,BC,分別以AC,BC為邊向外作正方形ACDE,BCFG,DE,FG, 的中點分別是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=20,則AB的長是( )
A. 9B. C. 13D. 16
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(-1,0),頂點坐標為(1,m),與y軸交點在(0,3),(0,4)之(不包含端點),現(xiàn)有下列結論:①3a+b>0;②-<a<-1;③關于x的方程ax2+bx+c=m-2有兩個不相等的實數(shù)根:④若點M(-1.5,y1),N(2.5,y2)是函數(shù)圖象上的兩點,則y1=y2.其中正確結論的個數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線于點M.請判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,OB=,請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.
【答案】(1)①1;②40°;(2),90°;(3)AC的長為3或2.
【解析】
(1)①證明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值為1;
②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得:∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;
(2)根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD,則,由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的度數(shù);
(3)正確畫圖形,當點C與點M重合時,有兩種情況:如圖3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,則∠AMB=90°,,可得AC的長.
(1)問題發(fā)現(xiàn):
①如圖1,
∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=BD,
∴
②∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO,
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠ABO=140°,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°,
(2)類比探究:
如圖2,,∠AMB=90°,理由是:
Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
∴,
同理得:,
∴,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴ ,∠CAO=∠DBO,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM)=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;
(3)拓展延伸:
①點C與點M重合時,如圖3,
同理得:△AOC∽△BOD,
∴∠AMB=90°,,
設BD=x,則AC=x,
Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,
∴CD=2,BC=x-2,
Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,
∴AB=2OB=2,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x2)2=(2)2,
x2-x-6=0,
(x-3)(x+2)=0,
x1=3,x2=-2,
∴AC=3;
②點C與點M重合時,如圖4,
同理得:∠AMB=90°,,
設BD=x,則AC=x,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x+2)2=(2)2.
x2+x-6=0,
(x+3)(x-2)=0,
x1=-3,x2=2,
∴AC=2;.
綜上所述,AC的長為3或2.
點睛:本題是三角形的綜合題,主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定,幾何變換問題,解題的關鍵是能得出:△AOC∽△BOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),并運用類比的思想解決問題,本題是一道比較好的題目.
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),B(﹣1,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M,求切點M的坐標;
(3)若點Q在x軸上,點P在拋物線上,是否存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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