【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O外,∠ABC的平分線與⊙O交于點D,∠C=90°.
(1)CD與⊙O有怎樣的位置關系?請說明理由;
(2)若∠CDB=60°,AB=6,求的長.
【答案】(1)相切,理由見解析;(2)π.
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)BD是∠ABC的平分線的性質(zhì)有∠CBD=∠ABD,根據(jù)OD=OB,得到∠ODB=∠ABD,等量代換得到∠ODB=∠CBD,根據(jù)平行線的判定得到OD∥CB,根據(jù)平行線的性質(zhì)有∠ODC=∠C=90°,即可證明CD與⊙O相切;
(2)根據(jù)扇形的弧長公式進行計算即可.
(1)相切.理由如下:
連接OD,
∵BD是∠ABC的平分線,
∴∠CBD=∠ABD,
又∵OD=OB,
∴∠ODB=∠ABD,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥CB,
∴∠ODC=∠C=90°,
∴CD與⊙O相切;
(2)若∠CDB=60°,可得∠ODB=30°,
∴∠AOD=60°,
又∵AB=6,
∴AO=3,
∴
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,點A、B、C的坐標分別為(﹣1,3)、(﹣4,1)、(﹣2,1),將△ABC沿一確定方向平移得到△A1B1C1,點B的對應點B1的坐標是(1,2),則點A1,C1的坐標分別是 ( 。
A. A1(4,4),C1(3,2) B. A1(3,3),C1(2,1)
C. A1(4,3),C1(2,3) D. A1(3,4),C1(2,2)
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【題目】已知△ABC中,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,點M、N分別在邊CA,CB上(不與端點重合),BN=AM,射線AG∥BC交BM延長線于點D,點E在直線AN上,EA=ED.
(1)(觀察猜想)如圖1,點E在射線NA上,當∠ACB=45°時,①線段BM與AN的數(shù)量關系是 ; ②∠BDE的度數(shù)是 ;
(2)(探究證明)如圖2點E在射線AN上,當∠ACB=30°時,判斷并證明線段BM與AN的數(shù)量關系,求∠BDE的度數(shù);
(3)(拓展延伸)如圖3,點E在直線AN上,當∠ACB=60°時,AB=3,點N是BC邊上的三等分點,直線ED與直線BC交于點F,請直接寫出線段CF的長.
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【題目】問題提出:
(1)如圖①,已知線段AB和BC,AB=2,BC=5,則線段AC的最小值為 ;
問題探究
(2)如圖②,已知扇形COD中,∠COD=90°,DO=CO=6,點A是OC的中點,延長OC到點F,使CF=OC,點P是 上的動點,點B是OD上的一點,BD=1.
(i)求證:△OAP~△OPF;
(ii)求BP+2AP的最小值;
問題解決:
(3)如圖③,有一個形狀為四邊形ABCD的人工湖,BC=9千米,CD=4千米,∠BCD=150°,現(xiàn)計劃在湖中選取一處建造一座假山P,且BP=3千米,為方便游客觀光,從C、D分別建小橋PD,PC.已知建橋PD每千米的造價是3萬元,建橋PC每千米的造價是1萬元,建橋PD和PC的總造價是否存在最小值?若存在,請確定點P的位置并求出總造價的最小值,若不存在,請說明理由.(橋的寬度忽略不計)
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC與⊙O相切于點B,CD與⊙O相切于點D,連結AD.
(1)求證:AD∥OC.
(2)小聰與小明在做這個題目的時候,對∠CDA與∠AOC之間的關系進行了探究:
小聰說,∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值;
小明說,∠CDA+∠AOC的值隨∠A度數(shù)的變化而變化.
若∠CDA+∠AOC的值為y,∠A度數(shù)為x.你認為他們之中誰說的是正確的?若你認為小聰說的正確,請你求出這個固定值:若你認為小明說的正確,請你求出y與x之間的關系.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)與軸交于點B (-3 ,0) 和C (4 ,0)與軸交于點A.
(1) a = ,b = ;
(2) 點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿AB向B運動,同時,點N從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿BC向C運動,當點M到達B點時,兩點停止運動.t為何值時,以B、M、N為頂點的三角形是等腰三角形?
(3) 點P是第一象限拋物線上的一點,若BP恰好平分∠ABC,請直接寫出此時點P的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標中,拋物線y=ax2+bx+c過點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),點P是直線BC上方拋物線上的一動點,PE∥y軸,交直線BC于點E連接AP,交直線BC于點 D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)當AD=2PD時,求點P的坐標;
(3)求線段PE的最大值;
(4)當線段PE最大時,若點F在直線BC上且∠EFP=2∠ACO,直接寫出點F的坐標.
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【題目】如圖,有邊長為a的正方形卡片①,邊長為b的正方形卡片②,兩鄰邊長分別為a,b的矩形卡片③若干張.
(1)請用2張卡片①,1張卡片②,3張卡片③拼成一個矩形,在方框中畫出這個矩形的草圖;
(2)請結合拼圖前后面積之間的關系寫出一個等式;
(3)小明想用類似方法解釋多項式乘法(a+3b)(2a+2b)的結果,那么需用卡片①______張,卡片②______張,卡片③______張.
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【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求A、B、C的坐標;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=DQ,求點F的坐標.
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