【題目】如圖,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于點P,過點B的直線交OP的延長線于點C,且CP=CB.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為,OP=1,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)2.
【解析】
試題(1)、連接OB,根據(jù)OP⊥OA,CP=CB得出∠CPB=∠APO,根據(jù)OA=OB得出∠A=∠OBA,然后根據(jù)∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°得出切線;(2)、設BC=x,則PC=x,OC=x+1,然后根據(jù)Rt△OBC的勾股定理求出x的值,從而得出BC的長度.
試題解析:(1)、連結(jié)OB,如圖,
∵OP⊥OA,
∴∠AOP=90°,
∴∠A+∠APO=90°,
∵CP=CB,
∴∠CBP=∠CPB,
而∠CPB=∠APO,
∴∠APO=∠CBP,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切線;
(2)、設BC=x,則PC=x,
在Rt△OBC中,OB=,OC=CP+OP=x+1,
∵OB2+BC2=OC2,
∴()2+x2=(x+1)2,
解得x=2,
即BC的長為2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標系中,一次函數(shù)(為常數(shù),)的圖像與軸、軸分別相交于點,半徑為4的⊙與軸正半軸相交于點,與軸相交于點,點在點上方.
(1)若直線與弧有兩個交點.
①求的度數(shù);
②用含的代數(shù)式表示,并直接寫出的取值范圍;
(2)設,在線段上是否存在點,使?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,P是CB邊上一動點,連接AP,作PQ⊥AP交AB于Q.已知AC=3cm,BC=6cm,設PC的長度為xcm,BQ的長度為ycm.
小青同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.
下面是小青同學的探究過程,請補充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了y的幾組對應值;
x/cm | 0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
y/cm | 0 | 1.56 | 2.24 | 2.51 | m | 2.45 | 2.24 | 1.96 | 1.63 | 1.26 | 0.86 | 0 |
(說明:補全表格時,相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))
m的值約為多少cm;
(2)在平面直角坐標系中,描出以補全后的表格中各組數(shù)值所對應的點(x,y),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
①當y>2時,寫出對應的x的取值范圍;
②若點P不與B,C兩點重合,是否存在點P,使得BQ=BP?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:點A(0,4),B(0,﹣6),C為x軸正半軸上一點,且滿足∠ACB=45°,則( 。
A. △ABC外接圓的圓心在OC上
B. ∠BAC=60°
C. △ABC外接圓的半徑等于5
D. OC=12
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點,以OA為半徑的⊙O與BC切于點D,與AC交于點E,連接AD.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),B(0,﹣),C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D
(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標;
(2)若P為y軸上的一個動點,連接PD,求PB+PD的最小值;
(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內(nèi)存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱形,則這樣的點N共有 個;
②連接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=x2+bx+c過點A(1,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)在拋物線上存在一點P使△ABP的面積為10,請直接寫出點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6.
(1)如果DE=10,那么當EF=________,FD=________時,△DEF∽△ABC;
(2)如果DE=10,那么當EF=________,FD=________時,△FDE∽△ABC.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上,點D為對角線OB的中點,點E(4,n)在邊AB上,反比例函數(shù)(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E,且tan∠BOA=.
(1)求邊AB的長;
(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;
(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F,將矩形折疊,使點O與點F重合,折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G,求線段OG的長.
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