Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A（﹣2，0），C（0，4），點O′為x軸上一點，⊙O′過A，C兩點交x軸于另一點B．

（1）求點O′的坐標；
（2）已知拋物線y=ax2+bx+c過A，B，C三點，且與⊙O′交于另一點E，求拋物線的解析式，并直接寫出點E 坐標；
（3）設點P（t，0）是線段OB上一個動點，過點P作直線l⊥x軸，交線段BC于F，交拋物線y=ax2+bx+c于點G，請用t表示四邊形BPCG的面積S；
（4）在（3）的條件下，四邊形BPCG能否為平行四邊形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接CO′，設⊙O′的半徑為R．

在Rt△OCO′中，∵OC2+OO2=CO′2，

∴42+（R﹣2）2=R2，

∴R=5，

∴OO′=5﹣2=3，

∴O′（3，0）．

（2）解：∵A（﹣2，0），C（0，4），B（8，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4．

易知E、C關于對稱軸對稱，

∴點E的縱坐標為4，

∴E（6，4）

（3）解：由題意G（t，﹣ t2+ t+4），

∴S四邊形BPCG= PG（Bx﹣Cx）= （﹣ t2+ t+4）8=﹣t2+6t+16（0＜t＜8）

（4）解：不可能是平行四邊形．

理由：假設CG∥BP，此時G與E重合，CE=OP=6，BP=OB﹣OP=2，

∴CE≠BP，

∴四邊形BPCG不可能是平行四邊形．

【解析】（1）如圖1中，連接CO′，設⊙O′的半徑為R．在Rt△OCO′中，根據(jù)OC2+OO2=CO′2，可得42+（R-2）2=R2，解方程求出求點O′的坐標；
（2）把A（-2，0），C（0，4），B（8，0）代入拋物線拋物線y=ax2+bx+c，求拋物線的解析式即點E 坐標；
（3）根據(jù)S四邊形BPCG=PG（Bx-Cx），即可用t表示四邊形BPCG的面積S
（4）不可能是平行四邊形．假設CG∥BP，此時G與E重合，CE=OP=6，BP=OB-OP=2，推出CE≠BP，即可得到所求結論..
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．