【題目】正方形ABCD的邊長為2M、N分別為邊BC、CD上的動點,且∠MAN45°

1)猜想線段BM、DNMN的數(shù)量關(guān)系并證明;

2)若BMCMPMN的中點,求AP的長;

3M、N運動過程中,請直接寫出△AMN面積的最大值   和最小值   

【答案】(1)BM+DNMN;(2);(3)2,44

【解析】

1)延長CBE,使BEDN,連接AE,根據(jù)SAS證△ABE≌△ADN,推出AEAN,∠DAN=∠BAE,求出∠NAM=∠MAE,根據(jù)SAS證出△NAM≌△EAM,從而得到BM+DNMN;

2)如圖2,過點AAFMN,由AAS可證△ABM≌△AFM,可得ABAF2MBMF1,由勾股定理可求DN,即可求PF的長,由勾股定理可求AP的長;(3)由三角形的面積公式可求△AMN面積=MN,由三角形的三邊關(guān)系和完全平方公式可求MN的最大值和最小值,即可求解.

解:

(1)BM+DNMN

理由:如圖,延長CBE使得BEDN,連接AE

∵四邊形ABCD是正方形,

ABAD,∠D=∠ABC90°=∠ABE

在△ADN和△ABE中,

,

∴△ABE≌△ADNSAS),

∴∠BAE=∠DAN,AEAN,

∴∠EAN=∠BAE+BAN=∠DAN+BAN90°

∵∠MAN45°,

∴∠EAM=∠MAN

∵在△EAM和△NAM中,

,

∴△EAM≌△NAMSAS),

MNME

MEBM+BEBM+DN,

BM+DNMN

2)如圖2,過點AAFMN

∵點MBC的中點,

BMMCBC1,

由(1)可知:∠AMB=∠AMF,∠ABM=∠AFM90°AMAM,

∴△ABM≌△AFMAAS),

ABAF2,MBMF1,

BM+DNMN,

DNNF

MC2+NC2MN2,

1+2DN2=(1+DN2,

DN,

MN1+DN,

PMN的中點,

MP,

PFMFMP,

AP.

3)∵△AMN面積=MN×AF

∴△AMN面積=MN,

MNBM+DN,BM+CMBC2DN+CNCD2,

MN+CM+CNBC+CD4,

CM+CN4MN,

2CMCN+CM2+CN2=(4MN216+MN28MN,且CM2+CN2MN2,

CMCN84MN

∵(CMCN2≥0,

CM2+CN2≥2CMCN

MN2≥168MN,

∴(MN+42≥32

MN4,或MN4(舍去),

MN的最小值為4,

∴△AMN面積的最小值為4

MN+CM+CN4,且CM+CNMN

MN≤4MN,

MN≤2,

MN的最大值為2,

∴△AMN面積的最大值為2;

故答案為2,4

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在x軸正半軸上依次截取OA1A1A2A2AAn1Ann為正整數(shù)),過點A1A2、A3、…、An分別作x軸的垂線,與反比例函數(shù)yx0)交于點P1P2、P3、…、Pn,連接P1P2、P2P3、…、Pn1Pn,過點P2P3、…、Pn分別向P1A1P2A2、…、Pn1An1作垂線段,構(gòu)成的一系列直角三角形(見圖中陰影部分)的面積和是__

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)計劃購買A型和B型課桌凳共200套,經(jīng)招標(biāo),購買一套A型課桌凳比購買一套B型課桌凳少用40元,,且購買4A型和6B型課桌凳共需1820元。

1)求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元?

2)學(xué)校根據(jù)實際情況,要求購買這兩種課桌凳總費用不能超過40880元,并且購買A型課桌凳的數(shù)量不能超過B型課桌凳的,求該校本次購買A型和B型課桌凳共有幾種方案?哪種方案的總費用最低?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C移動,同時動點QC出發(fā)以1cm/s的速度向點A移動,設(shè)它們的運動時間為t.

1t為何值時,△CPQ的面積等于△ABC面積的?

(2)運動幾秒時,△CPQ與△CBA相似?

(3)在運動過程中,PQ的長度能否為1cm?試說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,以ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為( 。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OAB的頂點坐標(biāo)分別為O0,0),A1,2),B3,1)(每個方格的邊長均為1個單位長度).

1)將OAB向右平移1個單位后得到O1A1B1,請畫出O1A1B1;

2)請以O為位似中心畫出O1A1B1的位似圖形,使它與O1A1B1的相似比為21;

3)點Pab)為OAB內(nèi)一點,請直接寫出位似變換后的對應(yīng)點P的坐標(biāo)為   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,與y軸交于點C,與x軸交于點A、點B(﹣1,0),則

①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;

a﹣b+c<0;

b2﹣4ac<0;

④當(dāng)y>0時,﹣1<x<3,其中正確的個數(shù)是( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某初級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況,隨機抽取了該校部分學(xué)生的年齡作為樣本,經(jīng)過數(shù)據(jù)整理,繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖.依據(jù)相關(guān)信息解答以下問題:

1)寫出樣本容量   ,并補全條形統(tǒng)計圖;

2)寫出樣本的眾數(shù)   歲,中位數(shù)   歲;

3)若該校一共有600名學(xué)生.估計該校學(xué)生年齡在15歲及以上的人數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點的坐標(biāo)為,且,拋物線圖象經(jīng)過三點.

1)求兩點的坐標(biāo);

2)求拋物線的解析式;

3)若點是直線下方的拋物線上的一個動點,作于點,當(dāng)的值最大時,求此時點的坐標(biāo)及的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案