Question

數(shù)學(xué)課堂上，陳老師出示一道試題：
如圖1所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=60°，求證：AM=MN．
（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程．請你將證明過程補(bǔ)充完整．
證明：在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．又CN平分∠ACP，∠4=

1

2

∠ACP=60°，∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．∴△BEM為等邊三角形．∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

 

，

 

，

 

，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．∴AM=MN．
（2）若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A₁B₁C₁D₁”（正方形四條邊都相等、四個角都是直角）（如圖2），N₁是∠D₁C₁P₁的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠A₁M₁N₁=90°時，結(jié)論A₁M₁=M₁N₁是否還成立？（寫出答案，并仿照（1）證明）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：閱讀型

分析：（1）在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM，利用三角形內(nèi)角和定理，利用等式的性質(zhì)得到∠1=∠2，再由CN為角平分線，以及三角形BEM為等邊三角形，得出∠MCN=∠5，利用ASA得到三角形AEM與三角形MCN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）結(jié)論A₁M₁=M₁N₁仍然成立，理由為：在A₁B₁上截取A₁E=C₁M₁，連接EM₁，根據(jù)四邊形A₁B₁C₁D₁為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=90°，確定出△EB₁M₁為等腰直角三角形，利用角平分線性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義得到∠A₁EM₁=∠N₁C₁P₁=135°，利用同角的余角相等得到∠B₁A₁M₁=∠N₁M₁C₁，利用ASA得到三角形A₁EM₁與三角形M₁N₁C₁全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．

解答：（1）證明：在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=

1

2

∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM為等邊三角形．
∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠1=∠2 AE=CM ∠MCN=∠5

，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．
∴AM=MN．
故答案為：∠1=∠2；AE=CM；∠MCN=∠5；
（2）解：結(jié)論A₁M₁=M₁N₁仍然成立，理由為：
在A₁B₁上截取A₁E=C₁M₁，連接EM₁，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁為正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=90°，
∴EB₁=M₁B₁，即△EB₁M₁為等腰直角三角形，
∴∠B₁EM₁=45°，
∵C₁N₁為∠D₁C₁P₁的平分線，
∴∠A₁EM₁=∠N₁C₁P₁=135°，
∵∠B₁A₁M₁+∠A₁M₁B₁=90°，∠A₁M₁B₁+∠N₁M₁C₁=90°，
∴∠B₁A₁M₁=∠N₁M₁C₁，
在△A₁EM₁和△M₁N₁C₁中，

∠EA1M1=∠C1M1N1 A1E=M1C1 ∠A1EM1=∠M1C1N1

，
∴△A₁EM₁≌△M₁N₁C₁（ASA），
∴A₁M₁=M₁N₁．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．