Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B．點Q從B出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿x軸向O點移動；與其同時，點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長的速度沿射線AB移動，運動到點B即停止移動，同時點Q隨之停止．
（1）寫出點A、點B的坐標；
（2）設(shè)點P移動的時間為t，t為何值時，△PQB是直角三角形？
（3）說明△PQB的形狀隨時間變化而變化的情況；
（4）t為何值時，△PQB的面積為

5

4

？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點A、B在直線y=-

4

3

x+4上，可直接求出A、B的坐標；
（2）根據(jù)題意得：BQ=t，AP=2t，BP=5-2t，①當PQ⊥OB時，根據(jù)

PQ

AO

=

BQ

BO

得出PQ=

4

3

t，再根據(jù)PQ²+BQ²=PQ²，得出（

4

3

t）²+t²=（5-2t）²，求出t，如圖2，QP⊥AB時，根據(jù)△BPQ∽△BOA得出

t

5

=

5-2t

3

，求出t即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果可得出△PQB的形狀隨時間變化而變化的情況；
（4）過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)

PC

OA

=

PB

AB

，求出PC=

4

5

（5-2t），根據(jù)S_△PQB=

1

2

BQ•PC得出S_△PQB=-

4

5

t²+2t，再求出-

4

5

t²+2t=

5

4

的解即可．

解答：解：（1）∵點A、B在直線y=-

4

3

x+4上，
∴A（0，4），B（3，0）；

（2）根據(jù)題意得：BQ=t，AP=2t，BP=5-2t，
①如圖1，當PQ⊥OB時，則

PQ

AO

=

BQ

BO

，

PQ

4

=

t

3

，
PQ=

4

3

t，
在Rt△PQB中，
PQ²+BQ²=PQ²，
（

4

3

t）²+t²=（5-2t）²，
t₁=15（舍去），t₂=

15

11

；
如圖2，當QP⊥AB時，
∵△BPQ∽△BOA，
∴

BQ

BA

=

BP

BO

，
∴

t

5

=

5-2t

3

，
∴t=

25

13

；
（3）根據(jù)（2）可得：
當0＜t＜

15

11

時，△BPQ是鈍角三角形，
當t=

15

11

時，△BPQ是直角三角形，
當

15

11

＜t＜

25

13

時，△BPQ是銳角三角形，
當t=

25

13

時，△BPQ是直角三角形，
當

25

13

＜t≤2.5時，△BPQ是鈍角三角形，
（4）如圖3，過點P作PC⊥OB于點C，則

PC

OA

=

PB

AB

，

PC

4

=

5-2t

5

，
PC=

4

5

（5-2t），
則S_△PQB=

1

2

BQ•PC=

1

2

t•

4

5

（5-2t）=-

4

5

t²+2t，
由-

4

5

t²+2t=

5

4

得：
t=

5

4

，
當t=

5

4

時，△PQB的面積為

5

4

．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況討論．