Question

13．如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B，D重合，已知AB=3，AD=4，則
①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=$\frac{15}{4}$．
上面結(jié)論正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 如圖作EM⊥BC于M，首先證明△DEG≌△DFC，由此可以判斷①③正確．設(shè)DF=FB=x，則CF=4-x，在RT△DCF中，根據(jù)DF²=CD²+CF²，列出方程求出x，在RT△EMF中求出EM，MF利用勾股定理即可求出EF，即可判斷④正確．②錯(cuò)誤，可以用反證法證明．

解答 解；如圖作EM⊥BC于M．

∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFDG是由四邊形ABEF翻折，
∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4
∴∠EDG=∠CDF，
在△DEG和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠C}\\{DG=DC}\\{∠EDG=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DFC．故③正確，
∴DE=DF，故①正確，
設(shè)DF=FB=x，則CF=4-x，
在RT△DCF中，∵DF²=CD²+CF²，
∴x²=（4-x）²+3²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴DE=DF=$\frac{25}{8}$，
∵四邊形AEMB是矩形，
∴AE=BM=$\frac{7}{8}$，ME=AB=3，
∴MF=BC-BM-CF=4-$\frac{7}{8}$-（4-$\frac{25}{8}$）=$\frac{9}{4}$，
在RT△EFM中，EF=$\sqrt{E{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\frac{15}{4}$．故④正確，
②錯(cuò)誤．假設(shè)DF=EF，∵DE=DF，
∴EF=DE=DF，
∴△DEF是等邊三角形，
∴∠DFE=60°，
∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，
這顯然不可能，假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤．
故正確的有3個(gè)，選C

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．