Question

8．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$π
• B． π
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=$\sqrt{2}$BC=4，則OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OP=$\frac{1}{2}$AB=2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=2，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

解答 解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，
點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=2，
∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=$\frac{1}{2}$•2π•1=π．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點(diǎn)的軌跡為以EF為直徑的半圓．