【題目】已知二次函數(shù)圖象過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),C(0,4)
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時,在線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得∠BMC=90°?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(3)點(diǎn)K在拋物線上,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),直線KD與直線BC的夾角為銳角,且tan=,求點(diǎn)K的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)線段上存在,使得,理由詳見解析;(3)拋物線上符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為: 或或或.
【解析】
(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為,將點(diǎn)C坐標(biāo)代入可求解;
(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求P(﹣1,2),點(diǎn)Q(2,2),由勾股定理可求BC的長,由待定系數(shù)法可求PB解析式,設(shè)點(diǎn)M,由兩點(diǎn)距離公式可得,可求或,即可求解;
(3)過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,設(shè)直線DK與BC交于點(diǎn)N,先求出,,由銳角三角函數(shù)可求,分DK與射線EC交于點(diǎn)和DK與射線EB交于兩種情況討論,求出直線DK解析式,聯(lián)立方程組可求點(diǎn)K坐標(biāo).
解:(1)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)
設(shè)二次函數(shù)解析式為
又二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),
∴,即
故二次函數(shù)解析式為
(2)線段上存在,使得,理由如下:
設(shè)中點(diǎn)為,由題意,易知的坐標(biāo)為,
若,則
∵,∴≈的中點(diǎn)為
設(shè)所在的直線為,則,得
所在的直線為
在線段上,設(shè)的坐標(biāo)為,其中
如圖1,分別過,作軸與軸的垂線,,設(shè),相交于點(diǎn),
∴
∵
∴
整理得,解得或
當(dāng)時,,重合,不合題意(舍去)
∴,則的坐標(biāo)為
故線段上存在,使得
(3)如圖2,過點(diǎn)作于點(diǎn),設(shè)直線與交于點(diǎn)
∵
∴
∵
∴直線
在中
①若與射線交于點(diǎn)
∴
∴
∴
∴直線
∴
解得或
②若與射線交于點(diǎn)
∴
∴
∴
∴直線
,解得或
綜上所述,拋物線上符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為:
或或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和外角”時,老師在學(xué)案上設(shè)計(jì)了以下內(nèi)容:
如圖,已知△ABC,對∠A+∠B+∠ACB=180°的說理過程如下:
延長BC到點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE∥AB.
∵CE∥AB.
∴∠A=①(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).
∠B=②(兩直線平行,同位角相等).
∵∠ACB+③+④=180°(平角定義).
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).
下列選項(xiàng)正確的是( 。
A.①處填∠ECDB.②處填∠ECDC.③處填∠AD.④處填∠B
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“保護(hù)生態(tài)環(huán)境,建設(shè)綠色社會”已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆,某化工廠2018年1月的利潤為200萬元.設(shè)2018年1月為第1個月,第x個月的利潤為y萬元.由于排污超標(biāo),該廠決定從2018年1月底起適當(dāng)限產(chǎn),并投入資金進(jìn)行治污改造,導(dǎo)致月利潤明顯下降,從1月到5月,y與x成反比例.到5月底,治污改造工程順利完工,從這時起,該廠每月的利潤比前一個月增加20萬元(如圖).
(1)分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后,y與x之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)治污改造工程完工后經(jīng)過幾個月,該廠月利潤才能達(dá)到2018年1月的水平?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,于點(diǎn)過點(diǎn)作過點(diǎn)作于點(diǎn)連結(jié).
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于二次函數(shù)的三個結(jié)論:①對任意實(shí)數(shù)m,都有與對應(yīng)的函數(shù)值相等;②若3≤x≤4,對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個,則或;③若拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且AB≤6,則或.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線()與雙曲線交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),直線()與雙曲線交于,兩點(diǎn).當(dāng)這兩條直線互相垂直,且四邊形的周長為時,點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了科學(xué)普及新型冠狀病毒肺炎防護(hù)知識,提升學(xué)生的自我防護(hù)意識和能力,某中學(xué)開展線上“戰(zhàn)疫情復(fù)課復(fù)學(xué)”科普知識競賽活動,競賽試卷滿分100分.活動結(jié)束后,從參賽的七年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名同學(xué)的成績(單位:分),收集數(shù)據(jù)如下:
91,93,88,79,92,82,93,93,98,98,89,96,78,100,93,
98,95,93,96,88,99,98,75,80,86,92,90,88,96,93
并將數(shù)據(jù)整理后,繪制以下不完整的統(tǒng)計(jì)表(圖1)、頻數(shù)分布直方圖(圖2)和扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖3).
請根據(jù)圖表中的信息解答下列各題:
(1)填空:________,________;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.若成績在“85分到90分以下”為“成績良好”,請你求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“成績良好”部分的圓心角的度數(shù);
(3)成績達(dá)到“90分及以上”為“成績優(yōu)秀”.現(xiàn)需分別從組的甲、乙和組的丙、丁四位同學(xué)中,隨機(jī)選取兩人參加全校決賽,請用畫樹狀圖或列表法求出選中的兩人恰好是在同一個小組的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(教材呈現(xiàn))
下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第79頁的部分內(nèi)容.
如圖,矩形的對角線、相交于點(diǎn),、、、分別為、、、的中點(diǎn),求證:四邊形是矩形.
請根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合圖①,寫出完整的解題過程.
(結(jié)論應(yīng)用)
(1)在圖①中,若,,則四邊形的面積為__________;
(2)如圖②,在菱形中,,是其內(nèi)任意一點(diǎn),連接與菱形各頂點(diǎn),四邊形的頂點(diǎn)、、、分別在、、、上,,,且,若與的面積和為,則菱形的周長為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民掌握民法知識的情況,對社區(qū)內(nèi)的甲、乙兩個小區(qū)各500名居民進(jìn)行了測試,從中各隨機(jī)抽取50名居民的成績(百分制)進(jìn)行整理、描述、分析,得到部分信息:
a.甲小區(qū)50名居民成績的頻數(shù)直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組:50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100);
b.圖中,70≤x<80組的前5名的成績是:79 79 79 78 77
c.圖中,80≤x<90組的成績?nèi)缦拢?/span>
82 | 83 | 84 | 85 | 85 | 86 | 86 | 86 | 86 | 86 |
86 | 86 | 86 | 87 | 87 | 87 | 88 | 88 | 89 | 89 |
d.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率(85分及以上)、滿分人數(shù)如下表所示:
小區(qū) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 優(yōu)秀率 | 滿分人數(shù) |
甲 | 78.58 | 84.5 | a | b | 1 |
乙 | 76.92 | 79.5 | 90 | 40% | 4 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)求表中a,b的值;
(2)請估計(jì)甲小區(qū)500名居民成績能超過平均數(shù)的人數(shù);
(3)請盡量從多個角度,分析甲、乙兩個小區(qū)參加測試的居民掌握民法知識的情況.
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