Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．
（1）求證：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，

∴∠BAD=∠CDA，

而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，

AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，

∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，

∴△AED≌△DFA（SAS），

∴AF=DE

（2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，

∵∠BAD=45°，

∴∠HAB=∠KDC=45°，

∴AB= BH= AH，

同理：CD= CK= KD，

∵S梯形ABCD= ，AB=a，

∴S梯形ABCD= = ，

而S△ABE=S△DCF= a2，

∴ =2× a2，

∴BC= a．

【解析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；（2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．
【考點(diǎn)精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；等腰梯形的兩腰相等；同一底上的兩個(gè)角相等；兩條對角線相等．