Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x+m交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點，且OB=OC，連接BC，

（1）直接寫出m的值和B，C兩點的坐標；（3分）

（2）P點在直線BC下方的拋物線上，△BCP的面積為S，求S最大時，P的坐標；（4分）

（3）拋物線的對稱軸交拋物線于D點，交x軸于E點，在拋物線上是否存在點M，過M點作MN⊥BD于N點，使△DMN與BDE相似？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由。（5分）

 

Answer 1

解：（1）m=3，B(3,0),C(0,-3).…………………（3分）

(2) 拋物線y=x²-2x﹣3，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

由得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3, …………………（5分）              

設(shè)M（x,y），則

                ==…………………（6分）

∴y=,

∴M的坐標為…………………（7分）

（3）存在。D(1，-4) ，…………………（8分）

①如圖，若P在對稱軸左邊的拋物線上，記為P₁，P₁Q₁⊥BD于Q₁，

當△P₁DQ₁∽△DBE時，∠P₁DQ₁=∠DBE

延長DP₁交x軸于G點，則DG=BG，

設(shè)G點坐標為（x，0），BG=x+3

由勾股定理得DG=，

∴，解得，x=2，∴G點坐標為（-2，0），

易得直線DG的解析式為,…………………（9分）

由解得，，

∴P₁的坐標為；…………………（10分）

②如圖，若P在對稱軸右邊的拋物線上，記為P₂，P₂Q₂⊥BD于Q₂，

同理可得P₂的坐標為