【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,10),點(diǎn)B(m,10)在第一象限,連接AB、OB.
(1)如圖1,若OB=12,求m的值.
(2)如圖2,當(dāng)m=10時(shí),過B作BC⊥x軸于C,E為AB邊上一點(diǎn),AE=,把△OAE沿直線OE翻折得到△OFE(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F),連接BF、CF,求證:BF⊥CF.
(3)如圖3,將△AOB沿直線OB翻折得到△GOB(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G),若點(diǎn)G到x軸的距離不大于8,直接寫出m的取值范圍為 .
【答案】(1)m=;(2)證明見解析;(3)≤m≤30
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理計(jì)算AB的長,可得m的值;
(2)過點(diǎn)F作FM⊥AB,延長MF交OC于點(diǎn)N,由折疊性質(zhì)可知:EF=AE=,OF=OA=10,∠EFO=∠OAE=90°,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和AA定理證得△EFM∽△FON,設(shè)FM=x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得,然后利用勾股定理列方程求解x的值,從而求得MF=2,NF=8,ON=6,NC=4,然后再利用勾股定理求得、,,從而利用勾股定理逆定理判定△BCF是直角三角形,從而求解;
(3)由條件可知點(diǎn)G的縱坐標(biāo)大于或等于-8小于或等于8.分別計(jì)算點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為8和-8時(shí)m的值可得m的取值范圍.
解:(1)由A(0,10),點(diǎn)B(m,10)可知AB⊥y軸,
∵OB=12,OA=10,
∴在Rt△AOB中,AB=,
∴m=;
(2)過點(diǎn)F作FM⊥AB,延長MF交OC于點(diǎn)N
由折疊性質(zhì)可知:EF=AE=,OF=OA=10,∠EFO=∠OAE=90°
由題意可知,當(dāng)m=10時(shí),四邊形AOCB是正方形且MN⊥AB
∴MN⊥OC
∴∠EMF=∠FNO=90°
又∵∠EFM+∠OFN=90°,∠OFN+∠FON=90°
∴∠EFM=∠FON
∴△EFM∽△FON
設(shè)FM=x,則FN=10-x
∴,即,解得:
∴在Rt△FON中,
解得:x=0(舍去)或x=2
∴MF=2,NF=8,ON=6,NC=4
在Rt△EFM中,
∴
在Rt△MFB中,
在Rt△FNC中,
又∵BC=10=100
∴BF+CF=BC
∴△BCF是直角三角形
即BF⊥CF
(3)由條件可知點(diǎn)G的縱坐標(biāo)大于或等于-8小于或等于8.
①當(dāng)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為8時(shí),如圖,過點(diǎn)G作GK⊥x軸于K,交直線AB于R,
在Rt△OGK中,OG=OA=10,GK=8,可求OK=AR=6,RG=2,
∵BA=BG=m,BR=6-m,
在Rt△BRG中,由,
解得:m=;
②當(dāng)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為-8時(shí),如圖,過點(diǎn)G作GE⊥x軸于E,交直線AB于R,
在Rt△OGE中,OG=OA=10,GE=8,
∴OE=AR=6,RE=OA=10,
∴GR=EG+RE=18,
∵∠BGR+∠OGE=∠OGE+∠EOG=90°,
∴∠BGR=∠EOG,
∵∠BRG=∠OEG=90°,
∴△BRG∽△EOG,
∴,即,
解得:BR=24,
∴BA=m=AR+BR=6+24=30,
綜上所述:當(dāng)≤m≤30時(shí),點(diǎn)G到x軸的距離不大于8.
故答案為:≤m≤30.
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(1)的整數(shù)部分是 ,小數(shù)部分是 .
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(3)若設(shè)2+的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,求(y-x)2的值.
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