Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y=-x+1與x軸．y軸分別交于A．B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線(xiàn)AB的另一交點(diǎn)為C（4，n）．

（1）求n的值及該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，作PE∥y軸交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，

①y軸上存在點(diǎn)Q，使得四邊形QEPB是矩形，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②求線(xiàn)段PD的長(zhǎng)的最大值；

③當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）n=-2；y=x2+x+1；（2）①點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；②PD最大=；③當(dāng)t=時(shí)，E為BE的中點(diǎn)．

【解析】

（1）把x=4．y=n代入中，即可求出n的值，從而求出中b，c的值；

（2）①由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，則可知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，E點(diǎn)的坐標(biāo)為，而四邊形BPEQ為矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），則可求得，解得t值；

②易證△PED∽△EBQ，則有，PD=，得出關(guān)于t的二次函數(shù)，即可求最大值；

③點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)，即DE=BE，代入②中，即求得此時(shí)的t值．

（1）把x=4．y=n代入中，得：n=×4+1=-2

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，-2）

將點(diǎn)C（4，-2）和（0，1）代入，得：-8+4b+1=-2

解得：b=

∴y=x2+x+1

（2）①∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∵四邊形BPEQ為矩形，故PB⊥y軸

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）

∴，

解得：t1=0（舍去），t2=

∴t=，

則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

②∵PE＝t2+t+1﹣（﹣t+1）＝

QE＝t

QB＝

BE＝＝＝

∵∠BQE＝∠PDE＝90°

∠PEB＝∠EBQ

∴△PED∽△EBQ

∴，得＝

PD＝

∵

∴PD有最大值

PD最大＝＝

③∵點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)

∴由，DE=BE，得

代入得=

整理得，25t=-12t2+48t

解得t1=0（舍去），t2=

∴當(dāng)t=時(shí)，E為BE的中點(diǎn)