Question

【題目】如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)、、分別為線段，，上的一點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，連結(jié)．

（1）當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．

（3）①比較與的面積大小關(guān)系，并說明理由．

②當(dāng)的面積為6時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，理由見解析；②

【解析】

（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可以求得，依據(jù)三角形中等角對(duì)等邊，可得是等腰三角形，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得；

（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，依據(jù)等角的余角相等，可用AAS證明≌，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得高為，再用求出底邊，最后用三角形面積公式可求的面積；

（3）①設(shè)全等的和的對(duì)應(yīng)邊，，則可用、表示出兩個(gè)三角形的面積，可依據(jù)三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)，得到,從而得到、間的關(guān)系，將這個(gè)關(guān)系代入兩個(gè)面積中，即可發(fā)現(xiàn)它們相等；

②當(dāng)的面積為6時(shí)，可得到關(guān)于、的等式，再結(jié)合，可解出、，代入中即可.

解：（1）∵是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，

∴,,

∴,,

∴，

∴，同理,

如下圖，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，

∵以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴,,

∴,

∴,

又∵，

∴；

（2）如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

又∵，

∴,

又∵,

∴,,

∴,

又∵，,

∴≌（AAS），

∴,

又∵，，,

∴，，

∴的面積=．

（3）①與的面積相等，理由如下：

如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，

又∵,

∴,

∴,

∴,

由（2）知≌，

∴設(shè)，，

∴，，

∴，，,

又∵，,

∴,即，，

，，

∴，，

∴；

②∵，，

∴，，

∴，

∴.