【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點,∠EAF=45°.
(1)如圖(1),試判斷EF,BE,DF間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖(2),若AH⊥EF于點H,試判斷線段AH與AB的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)BE+DF=EF理由見解析;(2)AH=AB,理由見解析
【解析】
(1)延長FD到G,使DG=BE,連接AG,證△GDA≌△EBA,△GAF≌△EAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出GD+DF=BE+DF=EF進而求出即可;
(2)把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ,如圖,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AQ=AF,∠FAQ=90°,∠ABQ=∠D=90°,則可判斷點Q在CB的延長線上,由∠EAF=45°得到∠QAE=90°﹣∠EAF=45°,然后根據(jù)“SAS”判斷△AEQ≌△AEF,得到EQ=FE,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得到結(jié)論.
解:(1)BE+DF=EF;
理由如下:
如圖1,延長FD到G,使DG=BE,連接AG,
∵在△GDA和△EBA中,
,
∴△GDA≌△EBA(SAS),
∴AG=AE,∠GAD=∠EAB,
故∠GAF=45°,
在△GAF和△EAF中,
∵,
∴△GAF≌△EAF(SAS),
∴GF=EF,
即GD+DF=BE+DF=EF;
(2)AH=AB,
理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ,如圖2,
∴AQ=AF,∠FAQ=90°,∠ABQ=∠D=90°,
而∠ABC=90°,
∴點Q在CB的延長線上,
∵∠EAF=45°,
∴∠QAE=90°﹣∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠QAE,
在△AEQ和△AEF中,
,
∴△AEQ≌△AEF(SAS),
∴EQ=EF,
∵AB⊥EQ,AH⊥FE,
∴AB=AH.
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【題目】已知一次函數(shù),二次函數(shù)(其中m>4).
(1)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(用含m的代數(shù)式表示);
(2)利用函數(shù)圖象解決下列問題:
①若,求當且≤0時,自變量的取值范圍;
②如果滿足且≤0時自變量的取值范圍內(nèi)有且只有一個整數(shù),直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,在寬20米,長32米的矩形耕地上,修筑同樣寬的三條路(兩條縱向,一條橫向,并且橫向與縱向互相垂直),把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗田,要使試驗田的面積是570平方米,問道路應(yīng)該多寬?
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D在BC上,BD=6,CD=2,點P′是AB上的動點,則PC+PD的最小值是( )
A.7B.8C.9D.10
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【題目】觀察下列各組數(shù):(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),…,由此可發(fā)現(xiàn):,,,…,請寫出第6個數(shù)組:__.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C,點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點D,拋物線頂點為H(1,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為直線AD上方拋物線的對稱軸上一動點,連接PA,PD.當S△PAD=3,若在x軸上存在一動點Q,使PQ+QB最小,求此時點Q的坐標及PQ+QB的最小值;
(3)若點E為拋物線上的動點,點G,F(xiàn)為平面內(nèi)的點,以BE為邊構(gòu)造以B,E,F(xiàn),G為頂點的正方形,當頂點F或者G恰好落在y軸上時,求點E的橫坐標.
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【題目】已知:如圖,梯形ABCD與梯形A′B′C′D′相似,AD∥BC,A′D′∥B′C′,∠A=∠A′.AD=4,A′D′=6,AB=6,B′C′=12.求:
(1)梯形ABCD與梯形A′B′C′D′的相似比k;
(2)A′B′和BC的長;
(3)D′C′∶DC.
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【題目】某公司購買了一批、型芯片,其中型芯片的單價比型芯片的單價少9元,已知該公司用3120元購買型芯片的條數(shù)與用4200元購買型芯片的條數(shù)相等.
(1)求該公司購買的、型芯片的單價各是多少元?
(2)若兩種芯片共購買了200條,且購買的總費用為6280元,求購買了多少條型芯片?
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【題目】如圖所示,在平面真角坐標系中,點A.B的坐標分別為A(a,0),B(b,0),且a,b滿足|a+1|+=0,點C的坐標為(0,3).
(1)求a,b的值及S△ABC;
(2)若點M在x軸上,且S△ACM=S△ABC,試求點M的坐標.
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