【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,拋物線頂點(diǎn)為H(1,2).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P為直線AD上方拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,PD.當(dāng)SPAD=3,若在x軸上存在一動(dòng)點(diǎn)Q,使PQ+QB最小,求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及PQ+QB的最小值;

(3)若點(diǎn)E為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G,F(xiàn)為平面內(nèi)的點(diǎn),以BE為邊構(gòu)造以B,E,F(xiàn),G為頂點(diǎn)的正方形,當(dāng)頂點(diǎn)F或者G恰好落在y軸上時(shí),求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+x+;(2);(3)1+2+

【解析】

(1))由拋物線的頂點(diǎn)為H(1,2),可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2,把A(-1,0)代入得到,a=-

(2)如圖1中,連接PA,PD,在y軸上取一點(diǎn)M(0,-),連接BM,作QNBMN.設(shè)AD交對(duì)稱軸于K.首先證明QN=BQ,推出PQ+BQ=PQ+QN,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)HNBM,且P,Q,N共線時(shí),PQ+BQ的值最小,最小值=線段PN的值;

(3)設(shè)P(m,-m2+m+3),有三種情況:①如圖2,當(dāng)Gy軸上時(shí),過(guò)EEQy軸于Q,作EMx軸于M,證明EQG≌△EMB,則EQ=EM,列方程可得m的值;②當(dāng)Fy軸上時(shí),如圖3,過(guò)EEMx軸于M,同法可得;③當(dāng)Gy軸上時(shí),如圖4,作EMOBE,ENOGN.只要證明EM=EN,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為H(1,2),

∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2,

A(﹣1,0)代入得到,a=﹣,

∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+2,即y=﹣x2+x+;

(2)如圖1中,連接PA,PD,在y軸上取一點(diǎn)M(0,﹣),連接BM,作QNBMN.設(shè)AD交對(duì)稱軸于K,

由題意C(0,),D(2,),A(﹣1,0),B(3,0),

∴直線AD的解析式為y=x+,,

K(1,1),設(shè)P(1,m),

則有×(m﹣1)×3=3,

m=3,

P(1,3),

OB=3,OM=,

BM=,

sinABM==,

=

QN=BQ,

PQ+BQ=PQ+QN,

根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)HNBM,且P,Q,N共線時(shí),PQ+BQ的值最小,最小值=線段PN的值,

∵直線BM的解析式為y=x﹣,

∴當(dāng)PNBM時(shí),直線PN的解析式為y=﹣2x+5,此時(shí)Q(3,0),

,解得,

N(,﹣),

PN==

PQ+BQ的最小值為;

(3)設(shè)F(m,﹣m2+m+),

有三種情況:

①如圖2,當(dāng)Gy軸上時(shí),過(guò)EEQy軸于Q,作EMx軸于M,

∵四邊形EBFG是正方形,

EG=EB,

∵∠EQG=EMB=90°,QEG=MEB,

∴△EQG≌△EMB,

EQ=EM,

m=﹣m2+m+,

解得:m1=,m2=﹣(舍),

E的橫坐標(biāo)為

②當(dāng)Fy軸上時(shí),如圖3,過(guò)EEMx軸于M,

同理得:EMB≌△BOF,

OB=EM=3,

即﹣m2+m+=﹣3,

m1=1﹣(舍),m2=1+,

E的橫坐標(biāo)為1+

③當(dāng)Gy軸上時(shí),如圖4,作EMOBE,ENOGN,

同法可證:EN=EM,

m=﹣(﹣m2+m+),

解得m1=2+,m2=2﹣(舍棄),

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2+

綜上所述,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1+2+

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