Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PD的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于點(diǎn)F，N是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，M（m，0）是x軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CN+MN+MB的最小值以及此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，PD最大值為；（3），N（1，），M（，0）．

【解析】

（1）y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則c=3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=﹣x2+bx+3，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)D（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)P（x，﹣x+3），則PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)B作傾斜角為30°的直線BH，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BH交于點(diǎn)H，CH交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N為所求，即可求解．

（1）y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則c=3，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=﹣x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2，

拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）存在，理由：

令y=0，得：﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1或3，故點(diǎn)B（3，0），

設(shè)直線BC為y=kx+b，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：

，解得：．

∴直線BC的表達(dá)式為：y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)D（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)P（x，﹣x+3），

則PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=，

當(dāng)x時(shí)，PD最大值為：；

（3）過(guò)點(diǎn)B作傾斜角為30°的直線BH，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BH交于點(diǎn)H，CH交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N為所求．

∵∠ABH=30°，∠MHB=90°，∴∠CMO=∠BMH=90°-30°=60°．

∵∠COB=90°，∴∠COM=30°，∴OC=OM．

∵OC=3，∴OM=，

∴M（，0），CM=2OM=，MF=OM-OF=，MB=OB-OM=．

∵∠FMN=60°，∴tan∠FMN=，∴，

∴NF=，∴N（1，）．

CN+MNMB的最小值=CMMB=．