Question

【題目】如圖，AB是半圓O直徑，半徑OC⊥AB，連接AC，∠CAB的平分線AD分別交OC于點(diǎn)E，交 于點(diǎn)D，連接CD、OD，以下三個(gè)結(jié)論：①AC∥OD；②AC=2CD；③線段CD是CE與CO的比例中項(xiàng)，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA，
∵AD為∠CAB的平分線，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，故選項(xiàng)①正確；
∵OC⊥AB，OA=OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，
∵∠ADC與∠AOC都對(duì) ，
∴∠ADC= ∠AOC=45°，
∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴ = ，即CD2=CEOC，
故選項(xiàng)③正確；
取 的中點(diǎn)F，可得 = ，
∵ =2 ，
∴ = = ，
∴AF=FC=CD，即AF+FC=2CD，
∵AF+FC＞AC，
則2CD＞AC，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤，
則正確的選項(xiàng)有：①③．
故選B

由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由AD為角平分線得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得到AC與OD平行，故選項(xiàng)①正確；由CO垂直于AB，OA=OC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，得到∠CAB為45度，再由兩直線平行同位角相等得到∠DOB為45度，即∠COD為45度，再由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得到∠ADC為45度，得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形CED與三角形OCD相似，由相似得比例可得出CD為CE與CO的比例中項(xiàng)，故選項(xiàng)③正確；取弧AC的中點(diǎn)F，得到弧AF與弧CF相等，再由弧AC=2弧CD，得到三條弧相等，利用等弧對(duì)等弦得到CF=AF=CD，即CF+AF=2CD，而CF+AF大于AC，可得出AC不等式2CD，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤．