Question

5．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ACDB中，AB為直徑，AC：BC=1：2，點D為弧AB的中點，BE⊥CD垂足為E．
（1）求∠BCE的度數(shù)；
（2）求證：D為CE的中點；
（3）連接OE交BC于點F，若AB=$\sqrt{10}$，求OE的長度．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由D為弧AB的中點，得到AD=BD，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）由已知條件得到∠CBE=45°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE：AC=BE：BC，即可得到結(jié)論．
（3）連接CO，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位線到現(xiàn)在得到OF=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EF=$\frac{1}{2}$BC，由勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：連接AD，
∵D為弧AB的中點，
∴AD=BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠DCB=∠DAB=45°；

（2）證明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB=45°，
∴∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∵四邊形ACDB是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BDC=180°，
又∵∠BDE+∠BDC=180°，
∴∠A=∠BD，
又∵∠ACB=∠BED=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴DE：AC=BE：BC，
∴DE：BE=AC：BC=1：2，
又∵CE=BE，
∴DE：CE=1：2，
∴D為CE的中點；

（3）解：連接EO，
∵CO=BO，CE=BE，
∴OE垂直平分BC，
∴F為BC中點，
又∵O為AB中點，
∴OF為△ABC的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BEC=90°，EF為中線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
∵AC：BC=1：2，AB=$\sqrt{10}$，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
∴OE=OF+EF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．